Enunciado

Sejam u , v e w vetores não nulos com o mesmo ponto inicial no espaço tridimensional, mas tais que dois quaisquer não são colineares. Mostre que

u × v × w está no plano determinado por u e v

Passo 1

Vamos começar determinando um vetor perpendicular ao plano formado por   u e w .

n → = u → × v

Passo 2

Vamos agora determinar um vetor V → = u × v × w . Assim, para que u × v × w esteja no plano, n → ∙ V → = 0

n → ∙ V → = u → × v → ∙ u → × v → × w →

Isso é um Produto Caixa

Passo 3

Se um produto caixa possui dois vetores iguais, ele é zero. Logo:

n → ∙ V → = u → × v → ∙ u → × v → × w →

n → ∙ V → = u → × v → u → × v → w →

n → ∙ V → = 0

Resposta

V → = u × v × w está no plano

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