Enunciado

Sendo a , b e c números reais estritamente positivos tais que a + b + c = 1 , utilize a desigualdade de Cauchy-Schwarz no R 3 para provar que

1 a - 1 1 b - 1 1 c - 1 ≥ 8

Passo 1

Vamos lá!

1 a - 1 1 b - 1 1 c - 1 + 1 = 1 a b c - 1 a b - 1 a c - 1 b c + 1 a + 1 b + 1 c - 1 + 1

= 1 a b c - 1 a b - 1 a c - 1 b c + 1 a + 1 b + 1 c = 1 a b c - a + b + c a b c + 1 a + 1 b + 1 c

= 1 a + 1 b + 1 c =   1 a + 1 b + 1 c ( a + b + c ) ≥ 9

Note que nas duas últimas igualdades usamos o fato de a + b + c = 1 , beleza?

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Se u =a 1 b 1 c 1 d 1ev =a 2 b 2 c 2 d 2 São matrizes quaisquer de M(2,2), a seguinte fórmula define um produto interno nesse espaço: u ∙ v = a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 + d 1 d 2 Dados os vetores: u
Consideremos no R 3 , o produto interno usual. Para que valores de m os vetores uev são ortogonais? u = 3 m , 2 , - m e v = - 4,1 , 5 u = ( 0 , m - 1,4 ) e v = ( 5 , m - 1 , - 1 )
Consideremos o seguinte produto interno em P 2 : p ∙ q = a 2 b 2 + a 1 b 1 + a 0 b 0 , sendo p = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 e q = b 2 x 2 + b 1 x + b 0 . Dados os vetores p 1 = x 2 - 2 x + 3 , p 2 = 3 x -
Seja V = R 3 com o produto interno usual. Determinar um vetor u ∈ R 3 ortogonal aos vetores v 1 = 1,1 , 2 ,v 2 = 5,1 , 3ev 3 = ( 2 , - 2 , - 3 ) .
No espaço V = P 2 consideremos o produto interno f t ∙ g t =∫ 0 1 f t ∙ g td t . Calcular f t ∙ g t e | f t | para f t = t 2 - 2 t e g t = t + 3 .