Enunciado

Dê a solução do sistema linear:

{[[(d x)/(d t) = 4 x - 3 y],[(d y)/(d t) = 5 x - 4 y]])

Passo 1

Pra resolver esse sisteminha, vamos começar escrevendo ele na forma matricial que aprendemos:

{[[(d x)/(d t) = 4 x - 3 y],[(d y)/(d t) = 5 x - 4 y]])

[[[(d x)/(d t)],[(d y)/(d t)]]] = [[[4,-,3],[5,-,4]]] [[[x],[y]]]

Passo 2

Agora vamos fazer o que a gente já aprendeu: calcular os autovalores e autovetores dessa matriz!

det ([[[4,-,3],[5,-,4]]] - lambda I) = 0

|[[4,-,lambda,-,3],[5,-,4,-,lambda]]| = 0

Calculando o determinante:

(4 - lambda) (- 4 - lambda) + 15 = 0

lambda^2 - 16 + 15 = 0

Chegamos em:

lambda^2 = 1

Isso nos dá duas soluções!

lambda = 1

lambda = - 1

Agora a gente substitui ali em cima pra achar os autovetores! Primeiro lambda = 1 :

lambda = 1 : [[[4,-,1,-,3],[5,-,4,-,1]]] [[[x],[y]]] = 0

Multiplicando, vamos obter duas equações equivalentes:

{[[3 x - 3 y = 0],[5 x - 5 y = 0]]) -> y = x

Então, o autovetor associado a lambda = 1 é ( 1 , 1 ) . Vamos pra lambda = - 1 :

lambda = - 1 : [[[4,+,1,-,3],[5,-,4,+,1]]] [[[x],[y]]] = 0

Multiplicando, vamos ter uma equação só:

5 x - 3 y = 0 -> 3 y = 5 x

Então, o autovetor associado a lambda = - 1 é ( 3 , 5 ) .

Passo 3

Por isso, a solução do sistema é:

[[[x],[y]]] = c_1 [[[1],[1]]] e^t + c_2 [[[3],[5]]] e^(- t)

Assim,

x (t) = c_1 e^t + 3 c_2 e^(- t)

y (t) = c_1 e^t + 5 c_2 e^(- t)

Resposta

x (t) = c_1 e^t + 3 c_2 e^(- t)

y (t) = c_1 e^t + 5 c_2 e^(- t)

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