Enunciado

Em cada caso, mostre que A não é hermitiana para qualquer escolha dos sinais × .

a 1 1 + i × 1 + i 7 × 6 - 2 i × 0

b 1 × 3 + 5 i × 3 1 - i 3 - 5 i × 2 + i

Passo 1

Vamos reescrever cada × como sendo um número complexo genérico. Assim, vamos poder reescrever nossa matriz como sendo

1 1 + i x 1 + i y 1 1 + i 7 x 2 + i y 2 6 - 2 i x 3 + i y 3 0

Da definição 1 temos que A - é a matriz conjugada de A então

A - = 1 1 - i x 1 - i y 1 1 - i 7 x 2 - i y 2 6 + 2 i x 3 - i y 3 0

Além disso, temos que encontrar a matriz A * que é dada por A * = A - t   então

A * = 1 1 - i 6 + 2 i 1 - i 7 x 3 - i y 3 x 1 - i y 1 x 2 - i y 2 0

Para que a matriz seja hermitiana devemos ter que A = A * , mas para nosso caso vamos ter que A 1 2 ≠ A 1 2 * . Portanto, independente da escolha de × ela será não hermitiana.

Passo 2

Procedendo da mesma maneira para a segunda matriz vamos ter

A = 1 x 1 + i y 1 3 + 5 i x 2 + i y 2 3 1 - i 3 - 5 i x 3 + i y 3 2 + i

Da definição 1 temos que A - é a matriz conjugada de A então

A - = 1 x 1 - i y 1 3 - 5 i x 2 - i y 2 3 1 + i 3 + 5 i x 3 - i y 3 2 - i

Além disso, temos que encontrar a matriz A * que é dada por A * = A - t   então

A * = 1 x 2 - i y 2 3 + 5 i x 1 - i y 1 3 x 3 - i y 3 3 - 5 i 1 + i 2 - i

Para que a matriz seja hermitiana devemos ter que A = A * , mas para nosso caso vamos ter que A 33 ≠ A 33 * . Portanto, independente da escolha de × ela será não hermitiana.

Resposta

D e m o s n t r a ç ã o

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