Enunciado

Prove: se b ≠ 0 , então o termo misto pode ser eliminado da forma quadrática a x 2 + 2 b x y + c y 2 pela rotação dos eixos coordenados pelo ângulo θ que satisfaz a equação

c o t g 2 θ = a - c 2 b

Passo 1

Devemos notar que se o eixo X - Y for obtido a partir do eixo x - y com rotação θ , então as novas coordenadas são obtidas a partir da equação abaixo:

x   =   X c o s θ   -   Y s e n θ

X   =   x c o s θ   -   y s e n θ

y   =   X s e n θ   +   Y c o s θ

Y   =   x s e n θ   +   y c o s θ

Substituindo esses valores na forma quadrática a x ² + 2 b x y + c y ² , temos:

a x ² + 2 b x y + c y ²

  a ( X c o s θ   -   Y s e n θ ) ²   + 2 b ( X c o s θ   -   Y s e n θ ) ( X s e n θ   +   Y c o s θ ) + c ( X s e n θ   +   Y c o s θ ) ²

X 2 a c o s 2 θ + 2 b c o s θ s e n θ + c s e n 2 θ + X Y 2 c - a c o s θ s e n θ + 2 b c o s 2 θ - s e n 2 θ + Y 2 ( a s e n 2 θ - 2 b c o s θ s e n θ + c c o s 2 θ )

Passo 2

Sabemos que,

s e n   2 θ = 2 s e n θ c o s θ

c o s 2 θ   = c o s ² θ - s e n ² θ

Vamos supor que o termo misto é nulo, logo:

X Y ( 2 ( c - a ) c o s θ s e n θ + 2 b ( c o s ² θ - s e n ² θ ) )   =   0

( c - a ) c o s θ s e n θ + 2 b ( c o s ² θ - s e n ² θ ) = 0

Portanto,

2 b c o s 2 θ = ( a - c ) s e n 2 θ

c o s 2 θ s e n 2 θ = ( a - c ) 2 b

c o t g 2 θ = ( a - c ) 2 b

Isso só é possível se b ≠ 0 .

Resposta

c o t g 2 θ = ( a - c ) 2 b

Isso só é possível se b ≠ 0 .

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