Enunciado

A tangente, no ponto P, à circunferência de centro O e raio 3 é paralela à reta y = −2x + 1. Quais são as coordenadas de P? E se o raio da circunferência fosse 5?

Passo 1

Salve galera estudiosa, tudo certin?? É hora da resolução!!! Vamos lá??

A circunferência dada tem centro na origem e raio 3, portanto sua equação é dada por:

x 2 + y 2 = 9

Se a reta tangente no ponto P é paralela à reta y =   - 2 x + 1 significa que a reta tangente possui a mesma inclinação, ou seja, o mesmo coeficiente angular. Logo, ela tem o seguinte formato:

y =   - 2 x + b

Vamos substituir a equação da reta tangente na equação da circunferência, com o objetivo de descobrir o ponto P onde elas se encontram.

x 2 + ( - 2 x + b ) 2 = 9

x 2 + 4 x 2 - 4 b x + b 2 = 9

5 x 2 - 4 b x + b 2 - 9 = 0

Como chegamos à uma equação do segundo grau, vamos em busca das suas raízes.

∆   = - 4 b 2 - 4.5 . ( b 2 - 9 )

∆   = 16 b 2 - 20 b 2 + 180

∆   = - 4 b 2 + 180

Para que a equação possua raízes reais é preciso que o determinante seja maior que zero. Logo,

- 4 b 2 + 180 ≥ 0

4 b 2 ≤ 180

b 2 ≤ 45

- 3 5 ≤ b ≤ 3 5

Como queremos os pontos que pertencem à circunferência consideraremos para os valores de b os dois extremos desse intervalo.

Passo 2

Para b = 3 5 a nossa equação da reta tangente será y = - 2 x + 3 5 e a equação do 2º será dada por:

5 x 2 - 4 b x + b 2 - 9 = 0

5 x 2 - 12 5 x + 36 = 0

O discriminante será igual a:

∆   = - 4 3 5 2 + 180 =   - 4.45 + 180 = 0

Logo, o valor de x será dado por:

x = 12 5 ± 0 2.5 → x = 6 5 5

Consequentemente, o valor de y será:

y =   - 2 x + 3 5

y =   - 2 6 5 5 + 3 5

y = 3 5 5

Temos então o primeiro ponto P possível que seria a interseção entre a circunferência e a reta tangente:

P 1 = 6 5 5 , 3 5 5

De modo análogo, para b = - 3 5 , teremos a equação da reta tangente y = - 2 x - 3 5 que nos dará o ponto de interseção:

P 2 = - 6 5 5 , - 3 5 5

Passo 3

Vamos seguir o mesmo caminho, mas agora a circunferência dada tem centro na origem e raio igual a 5, portanto sua equação é dada por:

x 2 + y 2 = 25

Vamos substituir a equação da reta tangente y =   - 2 x + b na equação da circunferência, logo:

x 2 + ( - 2 x + b ) 2 = 25

5 x 2 - 4 b x + b 2 - 25 = 0

Como chegamos à uma equação do segundo grau, vamos em busca das suas raízes.

∆   = - 4 b 2 - 4.5 . ( b 2 - 25 )

∆   = 16 b 2 - 20 b 2 + 50 0

∆   = - 4 b 2 + 50 0

Para que a equação possua raízes reais é preciso que o determinante seja maior que zero. Logo,

- 4 b 2 + 50 0 ≥ 0

4 b 2 ≤ 50 0

b 2 ≤ 125

- 5 5 ≤ b ≤ 5 5

Como queremos os pontos que pertencem à circunferência consideraremos para os valores de b os dois extremos desse intervalo.

Passo 4

Para b = 5 5 a nossa equação da reta tangente será y = - 2 x + 5 5 e a equação do 2º será dada por:

5 x 2 - 4 b x + b 2 - 9 = 0

5 x 2 - 20 5 x + 36 = 0

O discriminante será igual a:

∆   = - 4 5 5 2 + 50 0 =   - 4.12 5 + 50 0 = 0

Logo, o valor de x será dado por:

x = 20 5 ± 0 2.5 → x = 2 5

Consequentemente, o valor de y será:

y =   - 2 x + 5 5

y =   - 2 2 5 + 5 5

y = 5

Temos então o primeiro ponto P possível que seria a interseção entre a circunferência e a reta tangente:

P 1 = 2 5 , 5

De modo análogo, para b = - 5 5 , teremos a equação da reta tangente y = - 2 x - 5 5 que nos dará o ponto de interseção:

P 2 = - 2 5 , - 5

Resposta

Para a circunferência de raio 3:

P 1 = 6 5 5 , 3 5 5     e       P 2 = - 6 5 5 , - 3 5 5

Para a circunferência de raio 5:

P 1 = 2 5 , 5             e       P 2 = - 2 5 , - 5

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Calcular:A distância do ponto P ( 1,2 , 3 ) a cada um dos eixos coordenados.
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Dados o ponto A = ( 3,4 , - 2 ) e a reta x = 1 + t y = 2 - t z = 4 + 2 t Calcular a distância de A a r .