Enunciado

Em uma tarde chuvosa, Cecília resolveu vários exercícios de Geometria Analítica que pediam equações de planos e foi ao final do livro conferir as respostas. Relacionamos a seguir, para cada exercício, as duas respostas: a de Cecília e a do livro. Quais exercícios ela acertou?

Exercício 4 X = 2 ,   1 ,   3 + λ 1 ,   1 ,   - 1 + μ 1 ,   0 ,   1 X = 0 ,   1 ,   1 + λ 1 ,   3 ,   - 5 + μ ( 1 ,   - 1 ,   3 )

Passo 1

No exercício 4, tanto os pontos como os vetores diretores estão diferentes.

Primeiro vamos conferir os vetores diretores ok?

Os da Cecília são:

1 ,   1 ,   - 1   e   ( 1 ,   0 ,   1 )

Enquanto os do livro:

1 ,   3 ,   - 5   e   ( 1 ,   - 1 ,   3 )

Nenhum vetor do livro é múltiplo de nenhum vetor da Cecília certo? Então vamos ter que conferir por produto vetorial.

Passo 2

Fazendo o produto vetorial:

1 ,   1 ,   - 1 ∧ 1 ,   0 ,   1 = ( 1 ,   - 2 ,   - 1 )

1 ,   3 ,   - 5 ∧ 1 ,   - 1 ,   3 = ( 4 ,   - 8 ,   - 4 )

Opa, podemos perceber que:

4 ,   - 8 ,   - 4 = 4 . ( 1 ,   - 2 ,   - 1 )

Então o vetor normal da Cecília e o do livro são múltiplos e então, ela acertou os vetores diretores já hahaha

Agora vamos conferir se o ponto que a Cecília usou pertence ao plano do livro.

Passo 3

Temos que:

( 2 ,   1 ,   3 ) = 0 ,   1 ,   1 + λ 1 ,   3 ,   - 5 + μ ( 1 ,   - 1 ,   3 )

( 2 ,   1 ,   3 ) = λ + μ ,   1 + 3 λ - μ ,   1 - 5 λ + 3 μ

Igualando as coordenadas:

λ + μ = 2 1 + 3 λ - μ = 1   1 - 5 λ + 3 μ = 3

Da primeira equação, temos que λ = 2 - μ , substituindo na segunda:

1 + 3 ( 2 - μ ) - μ = 1

6 - 3 μ - μ = 0

μ = 6 4 = 3 2

Então λ = 2 - 3 2 = 1 2

Substituindo esses valores de λ   e   μ na terceira equação, o resultado procede, então, realmente existe λ   e   μ tal que o ponto da Cecília pertença ao plano do livro, então o plano é o mesmo e ela acertou!! Aeee!

Resposta

d) Exercício 4 correto

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