Enunciado

Sejam P = ( 2 ,   1 ,   - 1 ) e Q = ( 0 ,   - 1 ,   0 ) . Determine um ponto C da reta P Q tal que a área do triângulo A B C seja 9 , nos casos:

d) A = 1 ,   2 ,   7 ,   B = ( - 5 ,   - 4 ,   - 5 )

Passo 1

Antes de qualquer coisa, vamos encontrar a reta P Q ta bom?

Essa reta passa por P e por Q e tem vetor diretor P Q → :

P Q → = Q - P

P Q → = ( - 2 ,   - 2 ,   1 )

Então, a equação vetorial da reta P Q vai ser:

P Q :   X = P + λ P Q →

P Q :   X = 2 ,   1 ,   - 1 + λ ( - 2 ,   - 2 ,   1 )

Olha, a gente escolheu P pra ser o ponto da equação, mas você poderia colocar Q também ta bom?

Passo 2

Agora a gente vai pegar um ponto C genérico da reta P Q , a partir da equação dela (lembra que se você tiver colocado o ponto Q como o ponto na equação, esse ponto genérico vai ser diferente, mas o resultado final é igual fechou?)

C = 2 - 2 λ ,   1 - 2 λ ,   - 1 + λ

Belezinha, agora a partir desse ponto genérico a gente vai fazer nossos cálculos da área do triângulo :D

Passo 3

Queremos que a área do triângulo seja 9 né? A gente sabe que a área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial entre A B → e A C → , então vamos encontrar esses vetores:

A B → = B - A = - 6 ,   - 6 ,   - 12

A C → = C - A = ( 1 - 2 λ ,   - 1 - 2 λ ,   - 8 + λ )

Fazendo o produto vetorial A B → ∧ A C → :

A B → ∧ A C → = i ^ j ^ k ^ - 6 - 6 - 12 1 - 2 λ - 1 - 2 λ - 8 + λ = - 30 λ + 3 6 i ^ + ( 30 λ - 60 ) j ^ + 12 k ^

Agora vamos encontrar o módulo:

A B → ∧ A C → = - 30 λ + 3 6 2 + ( 30 λ - 60 ) 2 + 12 2

A B → ∧ A C → = 900 λ 2 - 2 1 60 λ + 129 6 + 900 λ 2 - 3600 λ + 3600 + 144

A B → ∧ A C → = 18 00 λ 2 - 57 60 λ + 5 040

Passo 4

Queremos que a área do triângulo seja 9, então:

1800 λ 2 - 5760 λ + 5040 2 = 9

1800 λ 2 - 5760 λ + 5040 = 18

Elevando os dois lados ao quadrado:

1800 λ 2 - 5760 λ + 5040 = 324

1800 λ 2 - 5760 λ + 4716 = 0

Dividindo tudo por 36:

50 λ 2 - 160 λ + 131 = 0

Quando calculamos o dessa equação do segundo grau, ele dá - 600 , um número negativo.

O que isso quer dizer? Que essa equação não possui raízes reais, portanto não existe nenhum ponto C em P Q que satisfaça as condições :/

Resposta

d) Nenhum ponto em P Q satisfaz as condições :(

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