Enunciado

(a) No triângulo ABC da Figura 5-2 (a), M divide (A,B) e N divide (C,B) na mesma razão r. Prove MN//AC e calcule M N → | A C → | .

Passo 1

Bora lá!

Esse é o nosso triângulo ABC, onde M divide (A,B) e N divide (C,B) na mesma razão r:

Antes de matarmos esse exercício, vamos relembrar o que ele nos pede:

I – Prove MN//AC, ou seja, temos que provar que os segmentos MN e AC são PARALELOS;

II – Calcule M N → | A C → | , ou seja, temos que calcular a razão de M N → sobre A C → .

Beleza? Então, partiu!

Passo 2

Temos que provar a hipótese de que MN e AC são paralelos, então os triângulos BMN e BAC são semelhantes:

Portanto,

M N A C = B M A B = B N C B               ( I )

O enunciado nos diz que M divide (A,B) e N divide (C,B):

Portanto,

M A B M = N C B N = r 1

Passo 3

Da propriedade de proporção, temos:

B M + M A B M = B N + N C B N = 1 + r 1

A B B M = B C B N = 1 + r 1

B M A B = B N B C = 1 1 + r

Então de I , conseguimos obter a razão que queríamos

M N A C = 1 1 + r

Passo 4

Já achamos a razão de M N A C , agora ficou mais tranquilo, vamos chamar essa razão de k, dessa forma, temos

1 1 + r = k

Se M N = k A C ,   l o g o   M N / / A C .

Resposta

(a) 1 1 + r .   Isso provém de M N → = A C → 1 + r .

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