Enunciado

Dado o triângulo ABC, tome D na reta BC tal que C seja o ponto médio de BD e Y na reta AC tal que as retas AD e BY sejam paralelas. Exprima A Y → em função de B A → ,   B C → e mostre que C é o ponto médio de AY.

Passo 1

Bora lá!

Primeiro, vamos fazer um esboço da nossa figura plana

Agora, vamos exprimir A Y → em função de B A → ,   B C → e mostre que C é o ponto médio de AY 😉.

Passo 2

Por hipótese, temos as seguintes informações:

- Todos os elementos estão em um mesmo plano π ;

- Dado que ABC é um triângulo, logo seus lados A B → ,   B C → e A C → são linearmente independentes entre si, quando tomados de 2 a 2;

- A Y → e   B D → são prolongamentos de A C → e B C → , respectivamente;

- Sendo C o ponto médio do vetor B D → , temos que C D → = B C → ;

- A D → e A Y → são paralelos, logo são múltiplos: A Y → = α A D → ,   α ∈ R .

Lembrando que E F → = - F E → , exprimindo A Y → , temos

Mas como B Y → = λ A D → , sendo

Então:

Passo 3

Agora para exprimir A Y → em função de B A → ,   B C → , precisamos determinar o coeficiente α , certo? E para isso, vamos usar mais um vetor, D Y → .

Sabendo que tanto - B A → + B Y → quanto A D → + D Y → somam A Y → , sendo B Y → = α A D → , ou seja, sendo tais vetores paralelos (múltiplos), temos que um é a transladação do outro no plano π , e portanto, para que as somas vetoriais sejam ambas iguais a A Y → ,   - B A → ,   D Y → ambos também têm que ser paralelos (múltiplos), associados por uma razão β ∈ R : D Y → = β - B A → . Assim, esses vetores também serão a transladação um do outro no plano π , conservando a soma vetorial.

Passo 4

Logo,

α - 1 . A D → = 1 - β . B A → → α - 1 . A D → + β - 1 . B A → = 0 →

Mas - B A → e A D → são linearmente independetes, pois A D → é a junção do vértice A do triângulo ABC ao prolongamento de um de seus lados, B C → ≠ - B A → .

Então, para tal combinação

α - 1 . A D → + β - 1 . B A → = 0 → ,   α - 1 = 0 ,   β - 1 = 0

Substituindo, temos:

A Y → = - 2 . B A → + 2 . B C → = 2 . ( - B A → + B C → )

E sabendo que - B A → + B C → = A C → (combinação linear de um triângulo), então:

A Y → = 2 . A C → ,

logo C é ponto médio de A Y → .

Resposta

A Y → = 2 . ( - B A → + B C → )

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Faça uma figura(ou mais), ilustrando uma das equações: (d): 3 P Q → = 5 Q R → .
Em cada uma das figuras abaixo, escreva o vetor z → em função dos demais.
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Faça uma figura(ou mais), ilustrando uma das equações: (b): A D → = 4 3 A B → .
Faça uma figura(ou mais), ilustrando uma das equações: (c): A E → = - 7 5 A B → .