Enunciado

Usando a matriz α m do exercício anterior, efetue uma rotação dos eixos (mudança de coordenadas mantendo a origem fixa). Ache as novas coordenadas ( x ' , y ' , z ' ) dos pontos cujas coordenadas ( x , y , z ) são:

d )     ( - 1,1 , 0 )

Passo 1

Falaaa, blz?? Então vamos entender o que é pedido. Quando ele diz para usarmos a matriz para mudarmos as coordenadas de um ponto ( x , y , z ) para ( x ' , y ' , z ' ) é como se nós tivéssemos olhando para o vetor ( - 1,2 , 2 ) no referencial de ( x , y , z ) e iremos usar o referencial “da matriz”, mais específico dos vetores que foram a matriz.

α m a → b   ∙ v a = v b

Ou seja, vamos usar a matriz α m que irá transformar um vetor em ( x , y , z ) para ( x ' , y ' , z ' )

Passo 2

Então vamos lá:

α m = 2 3 - 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 - 2 3

Passo 3

Usando v = - 1 1 0

2 3 - 2 3 1 3 1 3 2 3 2 3 2 3 1 3 - 2 3   - 1 1 0 = x ' y ' z '

Daqui:

- 2 3 - 2 3 = x ' - 1 3 + 2 3 = y ' - 2 3 + 1 3 = z '

Dai:

x ' =   - 4 3 ,   y ' = 1 3 ,   z ' = - 1 3

Resposta

( - 4 3 , 1 3 , - 1 3 )

Exercícios de Livros Relacionados

Efetuada a mudança de eixos dada pela matriz do exercício anterior (sem mover a origem), determine os ângulos que cada um dos novos eixos forma com o antigo. m = 1 7 2 6 x 3 2 y 6 - 3 z
Seja m uma matriz ortogonal 3 x 3 . Se m . x = d , onde x = x y z ed = d 1 d 2 d 3 , Prove que d 1 2 + d 2 2 + d 3 2 = x 2 + y 2 + z 2 .
Suponha que a mudança de coordenadas x , y , z → x ' , y ' , z ' se exprima matricialmente por x ' = m . ( x - u ) , que a mudança x ' , y ' , z ' → x ' ' , y ' ' , z ' ' seja dada por x ′ = n · (x ′
Considere as seguintes afirmações sobre uma matriz m do tipo 3 × 3:a) As linhas de m são os vetores unitários mutuamente ortogonais; b) m . m T = I 3 ; c) As colunas de m são vetores unitários mutuame
Se m é uma matriz ortogonal 2 x 2 , prove que existe θ ∈ R tal que, m = cos ⁡ 0 - sin ⁡ 0 sin ⁡ 0 cos ⁡ 0 o u m = cos ⁡ 0 sin ⁡ 0 sin ⁡ 0 - cos ⁡ 0 ,Conforme seja d e t . m = 1o ud e t . m = - 1