Enunciado

Use a desigualdade de Cauchy-Schwarz no espaço euclidiano R 3 (produto interno atual) para mostrar que, dados os números reais estritamente positivos a 1 ,   a 2 ,   a 3 vale a desigualdade:

a 1 + a 2 + a 3   .   1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 ≥ 9

Passo 1

Vamos lá! Como a 1 , a 2 , a 3 > 0 , vamos considerar os seguintes vetores do R 3 :

u → = a 1 , a 2 , a 3

E

v → = 1 a 1 , 1 a 2 , 1 a 3

Beleza?

Assim, considerando a norma de um vetor sendo proveniente do produto interno (no caso, escalar) usual do R 3 , obteremos

u → = a 1 + a 2 + a 3

E

v → = 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3

Agora vamos utilizar a desigualdade de Cauchy-Schwarz u → , v → ≤ u → . v → . Show de bola?! Aí vamos obter

a 1 . 1 a 1 + a 2 . 1 a 2 + a 3 . 1 a 3 ≤ a 1 + a 2 + a 3   . 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3

Ou seja,

3 ≤ a 1 + a 2 + a 3   . 1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3

Por fim, elevando os dois lados da desigualdade ao quadrado obtermos

a 1 + a 2 + a 3   .   1 a 1 + 1 a 2 + 1 a 3 ≥ 9

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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