Enunciado

Use a matriz B do Exercício 5 para verificar que (B^T)^(- 1) = (B^(- 1))^T .

Passo 1

Nossa matriz B do Exercício 4 é dada por:

B = [[[2,-,3],[4,4]]]

E queremos mostrar que (B^T)^(- 1) = (B^(- 1))^T , pra isso então precisamos encontrar os termos da direita (B^(- 1))^T , e da esquerda (B^T)^(- 1) e comparar. Bora lá então.

Passo 2

Vamos começar pelo lado esquerdo da nossa equação, (B^T)^(- 1) . Primeiro então a gente transpõe B e depois inverte o resultado:

B = [[[2,-,3],[4,4]]] => B^T = [[[2,4],[-,3,4]]]

Belezinha, agora falta inverter essa matriz aí. De acordo com o Teorema 1.4.5, seja uma matriz A = [[[a,b],[c,d]]] é invertível se, e somente se, a d - d c != 0 , nesse caso a inversa da matriz é dada por:

A^(- 1) = (1)/(a d - d c) [[[d,-,b],[-,c,a]]]

Passo 3

Show de bolinhas, agora que a gente inverter uma matriz 2x2, vamos usar isso na nossa matriz:

B^T = [[[2,4],[-,3,4]]] => (B^T)^(- 1) = (1)/(8 - (- 12)) [[[4,-,4],[3,2]]] = (1)/(20) [[[4,-,4],[3,2]]]

Iradoso, quer dizer então que o lado esquerdo da nossa equação é:

(B^T)^(- 1) = (1)/(20) [[[4,-,4],[3,2]]]

Passo 4

Bom, se a gente já encontrou o lado esquerdo, falta agora encontrar o direito (B^(- 1))^T . Nesse caso, primeiro a gente inverte e depois a gente transpõe.

B = [[[2,-,3],[4,4]]] => B^(- 1) = (1)/(8 - (- 12)) [[[4,3],[-,4,2]]] = (1)/(20) [[[4,3],[-,4,2]]] => (B^(- 1))^T = (1)/(20) [[[4,-,4],[3,2]]]

Passo 5

Tranquileba então, agora a gente tem os termos dos dois lados da equação (B^T)^(- 1) = (B^(- 1))^T .

(B^(- 1))^T = (1)/(20) [[[4,-,4],[3,2]]]

(B^T)^(- 1) = (1)/(20) [[[4,-,4],[3,2]]]

(1)/(20) [[[4,-,4],[3,2]]] = (1)/(20) [[[4,-,4],[3,2]]] <=> (B^T)^(- 1) = (B^(- 1))^T

São EXATAMENTE IGUAIS.

Resposta

(B^(- 1))^T = (1)/(20) [[[4,-,4],[3,2]]]

(B^T)^(- 1) = (1)/(20) [[[4,-,4],[3,2]]]

(1)/(20) [[[4,-,4],[3,2]]] = (1)/(20) [[[4,-,4],[3,2]]] <=> (B^T)^(- 1) = (B^(- 1))^T

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[[3 x_1,+,5,x_2,=,b_1],[x_1,+,2,x_2,=,b_2]]
x 1 + 2 x 2 + 3 x 3 = b 1 2 x 1 + 5 x 2 + 5 x 3 = b 2 3 x 1 + 5 x 2 + 8 x 3 = b 3
[[x_1,+,x_2,=,2],[5,x_1,+,6,x_2,=,9]]
[[x_1,-,5,x_2,=,b_1],[3,x_1,+,2,x_2,=,b_2]] b_1 = 1 , b_2 = 4 b_1 = - 2 , b_2 = 5
[[4 x_1,-,7,x_2,=,b_1],[x_1,+,2,x_2,=,b_2]] b_1 = 0 , b_2 = 1 b_1 = - 1 , b_2 = 3 b_1 = - 4 , b_2 = 6 b_1 = - 5 , b_2 = 1