Enunciado

Seja

A =   2 1 - 1 - 2 - 1 2 2 1 0

  1. Encontre a decomposição L U de A.
  2. Expresse A na forma de A = L 1 D U 1 , em que L 1 , é triangular inferior com entradas 1 na diagonal principal, U 1 é triangular superior e D é a matriz diagonal.
  3. Expresse A na forma A = L 2 D U 2 , em que L 2 é triangular inferior com entrada 1 na diagonal principal e U 2 é triangular superior

Passo 1

  1. Vamos começar simplificando a matriz por 1 2 para usarmos 1 como pivô

  2 1 - 1 - 2 - 1 2 2 1 0 ∼   1 1 2 - 1 2 - 1 - 1 2 1 1 1 2 0

Agora vamos fazer o escalonamento que vai ser igual a U

  1 1 2 - 1 2 - 1 - 1 2 1 1 1 2 0 ∼   1 1 2 - 1 2 0 0 1 0 0 1 = U

E para fazer a L , faremos um sistema:

  1 0 0 a 1 0 b c 1   1 1 2 - 1 2 0 0 1 0 0 1 =   2 1 - 1 - 2 - 1 2 2 1 0

Assim:

x 21 =   - 2

x 31 = 2

x 32 = 0

Logo

L = 2 0 0 - 2 1 0 2 0 1

Passo 2

Os itens (b) e (c) encontram-se errado no livro, inclusive suas respostas, pois não é possível fazer a L D U da mesma.

Mas, podemos pegar outra matriz e chama-la de B

B =   1 1 - 1 2 3 1 2 1 0

Para fazer L D U vamos fazer os escalonamentos

  1 1 - 1 0 1 3 0 - 1 4 ∼   2 1 - 1 0 1 3 0 0 3

Encontramos U ! Vamos fazer a multiplicação D U

  x 0 0 0 y 0 0 0 z   2 1 - 1 0 1 3 0 0 3 =   1 1 - 1 2 3 1 2 1 0

D =   1 0 0 0 1 0 0 0 1

Olha! Coincidentemente temos uma Matriz Identidade!

Agora vamos para L !

  1 0 0 a 1 0 b c 1   1 0 0 0 1 0 0 0 1 =   1 1 - 1 2 3 1 2 1 0

L =   1 0 0 2 1 0 2 1 1

Encontramos a Decomposição L D U !

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema 2 8 - 1 - 1 x 1 x 2 = - 2 - 2
Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema.2 - 2 - 2 0 - 2 2 - 1 5 2 x 1 x 2 x 3 = - 4 - 2 6
Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema - 5 - 10 6 5 x 1 x 2 = - 10 19