Enunciado

Seja A x = b um sistema linear de n equações em n icognitas e suponha que A seja uma matriz invertível que pode se reduzida à forma escalonada por linhas sem troca de linhas. Quantas adições e multiplicações adicionais são exigidas para resolver o sistema pelo método do Exemplo 1?

Passo 1

O exercício pede que fazemos a decomposição L U , só em palavras difíceis, pois está usando uma das suas definições, depois temos que comparar a quantidade de somas e subtrações de L U em relação ao Exemplo1

Se temos   A de dimensões n × n indo até uma linha i e uma coluna j .

A = x i j x i j + 1 ⋯ x i + 1 j x i + 1 ( j + 1 ) ⋯ ⋮ ⋮ ⋱

Temos que zerar a primeira coluna, logo vamos encontrar os multiplicadores:

x i j α + x i + 1 j = 0 → α = - x i + 1 j x i j

Vamos zerar agora a Linha 2 (L2)

L 1 - L 2

x i j x i j + 1 ⋯ x i + 1 j x i + 1 j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ - x i + 1 j x i j ∼   x i j x i j + 1 ⋯ 0 x i + 1 j - x i + 1 j x i j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱

Assim encontramos nossa U ! Fizemos uma multiplicação e uma soma para U

Passo 2

L será:

1 0 ⋯ x i + 1 j 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱    

Assim, colocando no sistema

L U = A

1 0 ⋯ x i + 1 j 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ x i j x i j + 1 ⋯ 0 x i + 1 j - x i + 1 j x i j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ = x i j x i j + 1 ⋯ x i + 1 j x i + 1 j ⋯ ⋮ ⋮ ⋱

Assim, fazemos uma multiplicação para descobrir L

Passo 3

Fazendo o Exemplo 1, ou seja, começamos a fatorar A por cima

x i j x i j + 1 ⋯ x i + 1 j x i + 1 ( j + 1 ) ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ - x i ( j + 1 ) x i + 1 ( j + 1 ) ∼ x i j - x i ( j + 1 ) x i + 1 j x i + 1 ( j + 1 ) 0 ⋯ x i + 1 j x i + 1 ( j + 1 ) ⋯ ⋮ ⋮ ⋱

substituímos por L U

x i j - x i ( j + 1 ) x i + 1 j x i + 1 ( j + 1 ) 0 ⋯ x i + 1 j x i + 1 ( j + 1 ) ⋯ ⋮ ⋮ ⋱ . 1 x i j + 1 ⋯ 0 1 ⋯ ⋮ ⋮ ⋱

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use o método do Exemplo 1 e a decomposição LU3 - 6 - 3 2 0 6 - 4 7 4 = 3 0 0 2 4 0 - 4 - 1 21 - 2 - 1 0 1 2 0 0 1 Para resolver o sistema 3 x 1 - 6 x 2 - 3 x 3 = - 3 2 x 1 + 6 x 3 = - 22 - 4 x 1 + 7 x
Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema.5 5 10 - 8 - 7 - 9 0 4 26 x 1 x 2 x 3 = 0 1 4
Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema.- 3 12 - 6 1 - 2 2 0 1 1 x 1 x 2 x 3 = - 33 7 - 1
Encontre a decomposição LU da matriz de coeficientes e, depois, use o método do Exemplo 1 para resolver o sistema.- 1 - 3 - 4 3 10 - 10 - 2 - 4 11 x 1 x 2 x 3 = - 6 - 3 9
Mostre que a matriz 0 1 1 0 não possui decomposição L U Encontre uma decomposição L D U dessa matriz.