Enunciado

Use o método do Exemplo 2 para encontrar os valores máximo e mínimo de,

x 2 + x y + 2 y 2

sujeita à restrição

x ² + 3 y ²   = 16

Passo 1

Bora lá! Primeiro passo é deixar essa equação toda aí igual a 1 (no lugar de igual a 16):

x 2 16 + 3 y ² 16   =   1

Podemos melhor ainda mais isso aí: x 4 2 + y 4 3 2   =   1

Reconhece isso aí? Muito bem, é a equação de uma elipse!!!

Passo 2

Vamos então fazer que:

x = 4 a e y = b 4 3

Temos que:

x . y = c

Então:

16 3 a b = c

Passo 3

Agora vamos escrever essa equação na notação matricial que é a forma:

x T A x

Onde temos:

x = x 1   x 2  

E como temos nosso A :

A = 0 4 3 4 3 0

Da onde eu tirei esse A ? Os termos da diagonal principal da matriz A são os próprios coeficientes de a 2 e de b 2 , ou seja, os valores que multiplicam esses dois termos! Beleza, a gente tem a 2 e b 2 nessa equação aí? Nãaaaao, então a diagonal é 0 .

Já os termos que não estão na diagonal principal da matriz A são a metade dos coeficientes do termo misto a b , ou seja, 4 3 .

Passo 4

Agora vamos continuar, galera! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz A e ele é dado por:

d e t   λ I - A = 0  

Bora calcular esse negócio juntos!

d e t   λ 0 0 λ - 0 4 3 4 3 0   = 0

d e t   λ - 4 3 - 4 3 λ   = 0

λ 2 - 16 3 = 0

λ 2 = 16 3

λ =   ± 4 3  

Ou seja:

λ 1 = 4 3                         λ 2 =   - 4 3  

Passo 5

Agora conseguimos calcular os autovetores correspondentes a cada autovalor! Da definição de autovetor, temos:

λ I - A x = 0

Portanto, para λ 1 = 4 3 temos:

4 3 - 4 3 - 4 3 4 3

Perceba que as colunas da matriz A ' = λ I - A serão combinadas linearmente com os valores de x . Basicamente vamos ver um jeito de multiplicar alguma coisa por cada coluna que faz com que a soma delas de zero. Se ta boiando ainda, vem comigo… Olha pras duas colunas da matriz… Agora se a gente multiplicar 1 na primeira coluna e somar com a segunda coluna nós zeramos tudo!! Bingo, é isso que queremos fazer. Então nosso vetor será:

x 1 = ± 1   1

Para λ 2 =   - 4 3 teremos a mesma coisa. Então:

x 2 =   ± - 1   1

Passo 6

É isso galera, encontramos os autovetores, agora precisamos normalizar! Então, normalizando o vetor x 1 , temos:

u 1 = x 1 ‖ x 1 ‖ = ± - 1 2   1 2  

Normalizando o vetor x 2 , temos:

u 2 = x 2 ‖ x 2 ‖ =   ± - 1 2   1 2  

Agora vamos substituir esses valores de a e b na nossa equação para achar o nosso c . Bom temos:

16 3 a b = c

a = - 1 2     e   b = 1 2

Então temos que:

c   =   - 8 3  

Passo 7

Lembra que no começo falamos que x = 4 a e y = b 4 3 , então, vamos substituir os valores de a e b para achar x e y :

a = - 1 2     e   b = 1 2

Então,

x =   - 4 2     e   y = 4 6    

Agora para o sinal negativo temos:

x =   - 4 2     e   y = 4 6    

Então,

x =   - 4 2     e   y = 4 6    

Passo 8

O nosso menor autovalor é λ 2 =   - 4 3 e o autovetor correspondente é:

x   =   ± - 1 2   1 2  

Então, o valor mínimo é c   =   - 8 3   e ele ocorre quando x   =   ± - 1 2   1 2   .

Resposta

O valor mínimo é c   =   - 8 3   e ele ocorre quando x   =   ± - 1 2   1 2   !

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Um retângulo centrado na origem com lados paralelos aos eixos coordenados deve ser inscrito na elipse x 2 + 25 y 2 = 25 . Use o método do exemplo 2 para encontrar os valores não negativos de x e y que
Prove: se b ≠ 0 , então o termo misto pode ser eliminado da forma quadrática a x 2 + 2 b x y + c y 2 pela rotação dos eixos coordenados pelo ângulo θ que satisfaz a equação c o t g 2 θ = a - c 2 b
Esboce o círculo unitário e as curvas de nível correspondentes à forma quadrática dada. Mostre que o círculo unitário intersecta cada uma dessas curvas em exatamente dois pontos e verifique que os ext