Enunciado

Use o método do Exemplo 2 para encontrar os valores máximo e mínimo de,

x y

sujeita à restrição

4 x ² + 8 y ²   = 16

Passo 1

Bora lá! Primeiro passo é deixar essa equação toda aí igual a 1 (no lugar de igual a 16):

x 2 4 + y ² 2   =   1

Podemos melhor ainda mais isso aí: x 2 2 + y 2 2   =   1

Reconhece isso aí? Muito bem, é a equação de uma elipse!!!

Passo 2

Vamos então fazer que:

x = 2 a e y = b 2

Temos que:

x . y = c

Então:

2 a b 2 = c

Passo 3

Agora vamos escrever essa equação na notação matricial que é a forma:

x T A x

Onde temos:

x = x 1   x 2  

E como temos nosso A :

A = 0 2 2 0

Da onde eu tirei esse A ? Os termos da diagonal principal da matriz A são os próprios coeficientes de a 2 e de b 2 , ou seja, os valores que multiplicam esses dois termos! Beleza, a gente tem a 2 e b 2 nessa equação aí? Nãaaaao, então a diagonal é 0 .

Já os termos que não estão na diagonal principal da matriz A são a metade dos coeficientes do termo misto a b , ou seja, 2 2 2   = 2 .

Passo 4

Agora vamos continuar, galera! A gente precisa calcular o polinômio característico da matriz A e ele é dado por:

d e t   λ I - A = 0  

Bora calcular esse negócio juntos!

d e t   λ 0 0 λ - 0 2 2 0   = 0

d e t   λ - 2 - 2 λ   = 0

λ 2 - 2 = 0

λ 2 = 2

λ =   ± 2  

Ou seja:

λ 1 = 2                         λ 2 =   - 2  

Passo 5

Agora conseguimos calcular os autovetores correspondentes a cada autovalor! Da definição de autovetor, temos:

λ I - A x = 0

Portanto, para λ 1 = 2 temos:

2 - 2 - 2 2

Perceba que as colunas da matriz A ' = λ I - A serão combinadas linearmente com os valores de x . Basicamente vamos ver um jeito de multiplicar alguma coisa por cada coluna que faz com que a soma delas de zero. Se ta boiando ainda, vem comigo… Olha pras duas colunas da matriz… Agora se a gente multiplicar -1 na primeira coluna e somar com a segunda coluna nós zeramos tudo!! Bingo, é isso que queremos fazer. Então nosso vetor será:

x 1 = ± - 1   1  

Para λ 2 = - 2 teremos a mesma coisa. Então:

x 2 =   ± - 1   1  

Passo 6

É isso galera, encontramos os autovetores, agora precisamos normalizar! Então, normalizando o vetor x 1 , temos:

u 1 = x 1 ‖ x 1 ‖ = ± - 1 2   1 2  

Normalizando o vetor x 2 , temos:

u 2 = x 2 ‖ x 2 ‖ =   ± - 1 2   1 2  

Agora vamos substituir esses valores de a e b na nossa equação para achar o nosso c . Bom temos:

2 a b 2 = c

a = - 1 2     e   b = 1 2

Então temos que:

c   =   - 2  

Passo 7

Lembra que no começo falamos que x =   2 a e y =   b 2 , então, vamos substituir os valores de a e b para achar x e y :

a = - 1 2     e   b = 1 2

Então,

x =   - 2     e   y = 1

Agora para o sinal negativo temos:

a = 1 2     e   b = - 1 2

Então,

x =   2     e   y =   - 1

Passo 8

O nosso menor autovalor é λ 2 = - 2 e o autovetor correspondente é:

x   =   ± - 1 2   1 2  

Então, o valor mínimo é c   =   - 2   e ele ocorre quando x   =   ± - 1 2   1 2   .

Resposta

O valor mínimo é c   =   - 2   e ele ocorre quando x   =   ± - 1 2   1 2   !

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