Enunciado

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Use a parte ( a ) do Teorema 4.3 . 1 para provar a parte ( b ) .

Passo 1

Vamos lá, para provar isso vamos fazer o seguinte. Supondo que exista um conjunto G =   { v 1 ,   v 2 ,   .   .   .   ,   v n } que seja subconjunto de S   ( n < r ) , assim:

Parte (a): Um conjunto G de dois ou mais vetores é linearmente dependente se, e só se, pelo menos um dos vetores (vamos chamar ele de v k ) de G pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores em G .

v k = a 1 v 1 + a 2 v 2 … + a n v n

Sendo, a 1 , a 2 … . a n ∈ R .

Porque, G ⊆ S ,   v k ∈ S .

Passo 2

Parte (b): Um conjunto G de dois ou mais vetores é linearmente independente se, e só se, nenhum vetor em G pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores em G .

Agora vamos escrever S como o subconjunto de G , para fazermos isso, temos que todos os coeficientes a i = 0 , sendo i = n + 1 ,   n + 2 … r e i = k = - 1 , assim podemos escrever S como, temos que lembrar que S só aceita a solução trivial:

a 1 v 1 + a 2 v 2 … + a n v n - v k = 0

Assim nosso G se torna:

→ a 1 v 1 + a 2 v 2 … + a n v n - v k = v k - v k = 0

Assim G é linearmente independente.

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