Enunciado

Use a parte ( a ) do Teorema 4.3 . 1 para provar a parte ( b ) .

Passo 1

Vamos lá, para provar isso vamos fazer o seguinte. Supondo que exista um conjunto G = { v_1 , v_2 , . . . , v_n } que seja subconjunto de S ( n < r ) , assim:

Parte (a): Um conjunto G de dois ou mais vetores é linearmente dependente se, e só se, pelo menos um dos vetores (vamos chamar ele de v_k ) de G pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores em G .

v_k = a_1 v_1 + a_2 v_2 ... + a_n v_n

Sendo, a_1 , a_2 ... . a_n in R .

Porque, G sube S , v_k in S .

Passo 2

Parte (b): Um conjunto G de dois ou mais vetores é linearmente independente se, e só se, nenhum vetor em G pode ser expresso como uma combinação linear dos outros vetores em G .

Agora vamos escrever S como o subconjunto de G , para fazermos isso, temos que todos os coeficientes a_i = 0 , sendo i = n + 1 , n + 2 ... r e i = k = - 1 , assim podemos escrever S como, temos que lembrar que S só aceita a solução trivial:

a_1 v_1 + a_2 v_2 ... + a_n v_n - v_k = 0

Assim nosso G se torna:

-> a_1 v_1 + a_2 v_2 ... + a_n v_n - v_k = v_k - v_k = 0

Assim G é linearmente independente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Sejam u → = P A → ,v → = P B → ,w → = P C → . Prove:a) P ,A ,B e C são coplanares ⇔ ( u → , v → ,w → ) é LD.b) P ,A e B são colineares ⇔ ( u → ,v → ) é LD.
Prove que, se u → é um múltiplo escalar de v → ( u → = λ v → ), então qualquer sequência que contém u → e v → é LD. Em particular, toda sequência de vetores que contém o vetor nulo é LD.
Prove:a) ( vec u , vec v , vec w ) é LI = ( vec u + vec v , vec u + vec w , vec v + vec w ) é LI.b) ( vec u , vec v , vec w ) é LI = ( vec u + vec v + vec w , vec u - vec v , 3 vec v ) é LI.
Para garantir, na demonstração da Proposição 6-8, que os pontos M ,N ,Q e R são univocamente determinados, explique por quê:a) a reta paralela a P C por D não é paralela ao plano P A B .b) a reta para
Verdadeiro ou falso? Justifique sua resposta.a) ( u → ,v → ,w → ) é LD → ( u → ,v → ) é LD.b) ( u → ,v → ) é LI → ( u → ,v → ,w → ) é LI.c) Se u → e v → não são nulos, então ( u → ,v → ,w → ) é LD → (