Enunciado

2 Use o teorema 4.2.1 para determinar quais dos seguintes são subespaços vetoriais de Mnn.

  1. O conjunto de todas as matrizes A de tamanho n x n tais que AT=-A.

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando duas matrizes quaisquer desse conjunto:

X ,     X T = - X

e

Y ,     Y T = - Y

Precisamos verificar se a soma atende a condição desse conjunto:

X + Y T = X T + Y T

Sabemos quanto vale essas transpostas:

X + Y T = - X - Y

Podemos reescrever assim:

X + Y T = - X + Y

Ou seja, a primeira condição é válida.

Passo 3

Agora vamos verificar a segunda condição, tomando uma matriz qualquer:

X ,     X T = - X

E um escalar qualquer: k

Multiplicando os dois teremos: k X .

Vamos ver se eles atendem a condição desse conjunto, usando as propriedades da transposta podemos calcular que:

k X T = k ⋅ X T

Sabemos o valor dessa transposta:

k X T = k ⋅ - X

k X T = - k X

Que continua sendo uma matriz que pertence ao conjunto que queriamos, ou seja, a segunda condição também é válida.

Dessa maneira concluímos que o conjunto das matrizes em que:

A T = - A

formam um subespaço vetorial de M n n .

Resposta

É um subespaço vetorial de M n n .

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c. B ∈ M n nA B = 0 - } .
b. O conjunto de todas as funções contínuas não decrescentes em [ 0,1 ] .
h. ( x , y , z ) , tais que z 2 = x 2 + y ² ²;
c. ( x , y , z , w ) , tais que x = y = 0 ;
d. O conjunto de todas as funções f em C 0 [ - 1,1 ] tais que f - 1 = 0 e f 1 = 0 .