Enunciado

5 Quais dos seguintes são subespaços de R?.

  1. Todas as sequencias v em R da forma v=(v, 1, v, 1, v, 1, ...).

Passo 1

Precisamos verificar as duas condições do Teorema.

O teorema diz que:

Se W for um conjunto de um ou mais vetores num espaço vetorial V , então W é um subespaço se, e só se, as condições seguintes forem validas.

(a) Se u e v forem vetores em W , então u + v está em W .

(b) Se a for um escalar qualquer e u algum vetor de W , então a u está em W .

Passo 2

Vamos verificar a primeira condição, tomando dois vetores quaisquer desse conjunto:

u = u 1 ,   1 ,   u 1 ,   1 ,   u 1 ,   1 ,   …

e

v = v 1 ,   1 ,   v 1 ,   1 ,   v 1 ,   1 ,   …

Quando somamos eles:

u + v = u 1 ,   1 ,   u 1 ,   1 ,   u 1 ,   1 ,   … + v 1 ,   1 ,   v 1 ,   1 ,   v 1 ,   1 ,   …

u + v = u 1 + v 1 ,   2 ,   u 1 + v 1 ,   2 ,   u 1 + v 1 ,   2 ,   …

Essa sequencia não está mais na forma que queríamos, pois nos lugares onde deveria ter o número 1 agora temos o número 2.

Resposta

Não é um subespaço vetorial de R ∞ .

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