Enunciado

Use o teorema 4.2 . 5 para mostrar que os vetores v 1 = 1,6 , 4 ,   v 2 = 2,4 , - 1 ,   v 3 = - 1,2 , 5 ,   w 1 = 1 , - 2 , - 5   e   w 2 = 0,8 , 9 geram o mesmo subespaço de R 3 .

Passo 1

Primeiramente devemos notar que os vetores podem ser escritos uns como combinações lineares dos outros da seguinte forma

v 1 = w 1 + w 2 v 2 = 2 w 1 + w 2 v 3 = - w 1         e   w 1 = - v 3 w 2 = v 1 + v 3

Temos pelo teorema 4.2 . 5 que: “Se S = { v 1 , v 2 , … , v r } e S ' = { w 1 , w 2 , … , w k } são conjuntos não vazios de vetores num espaço vetorial V , então

g e r v 1 , v 2 , … , v r = g e r w 1 , w 2 , … , w k

Se, e só se, cada vetor e S é uma combinação linear dos vetores em S ' , e cada vetor em S ' é uma combinação linear dos vetores em S .”

Como os dois conjuntos são combinação linear um do outro temos que eles geram o mesmo espaço.

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

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Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? d. ( 1 ,1 ,0 ,0 ) , ( 1 ,2 ,- 1 ,1 ) , ( 0 ,0 ,1 ,1 ) , ( 2 ,1 ,2 ,2 ) ;
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? b. 1,2 , 1,0 , 1,1 , - 1,0 , 0,0 , 0,1 ;
Quais dos seguintes conjuntos de vetores geram o R 4 ? a. 1,0 , 0,1 , 0,1 , 0,0 , 1,1 , 1,1 , 1,1 , 1,0 ;
b. B ∈ M n nA B ≠ B A } .
b. ( x , y , z ) , tais que z = x + y ;