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Utilizando identidades apropriadas, onde necessário, determine quais dos conjuntos de vetores em F ( - ∞ ,   ∞ ) dados são linearmente dependentes.

c) 1 , sen ⁡ x , sen ⁡ 2 x

Passo 1

Considerando um conjunto de vetores: v 1 = x , v 2 = sen ⁡ x , sen ⁡ 2 x .

Vamos ver se existe dependência linear, que tal escrevermos v 1 ,   v 2 e v 3 como combinação linear:

a x + b sen ⁡ x + c sen ⁡ 2 x = 0

Agora vamos fazer x = π .

a π + b sen ⁡ π + c sen ⁡ 2 π = 0

a π = 0 ,   a = 0

Agora vamos substituir isso na nossa equação original:

Passo 2

Agora vamos fazer x = π 2 .

b sen ⁡ x + c sen ⁡ 2 x = 0

b ⋅ 1 = 0

b = 0

Passo 3

Por fim, substituindo e fazendo x = π 4 .

c ⋅ sen ⁡ π 2 = 0

c = 0

Assim podemos ver que nossa equação só aceita a solução trivial, ( 0 ,   0 ,   0 ) assim nosso conjunto é linearmente independente.

Isso é tudo pessoal! Até a próxima!

Resposta

L.I.

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