Enunciado

Para que valor de m os pontos A (m , 1,2) , B (2 , - 2 , - 3) , C (5 , - 1,1) e D ( 3 , - 2 , - 2 ) são coplanares?

Passo 1

E aí, tudo joia?

Pra três vetores serem coplanares, o produto misto entre eles tem que ser zero.

Aqui a gente ainda não tem os vetores, então antes de tudo, vamos calcular os vetores vec A B , vec A C e vec A D ...

(é bom sempre partir do mesmo ponto)

Passo 2

Calculando os vetores, temos:

vec A B = (2 - m , - 3 , - 5)

vec A C = ( 5 - m , - 2 , - 1 )

vec A D = ( 3 - m , - 3 , - 4 )

Beleza! Agora temos os vetores! Vamos calcular o produto misto entre eles...

Passo 3

O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores:

d e t [[[2,-,m,-,3,-,5],[5,-,m,-,2,-,1],[3,-,m,-,3,-,4]]] = (2 - m) |[[-,2,-,1],[-,3,-,4]]| + 3 |[[5,-,m,-,1],[3,-,m,-,4]]| - 5 |[[5,-,m,-,2],[3,-,m,-,3]]|

= (2 - m) (8 - 3) + 3 (- 20 + 4 m + 3 - m) - 5 ( - 15 + 3 m + 6 - 2 m )

= (2 - m) (5) + 3 (3 m - 17) - 5 ( m - 9 )

= 10 - 5 m + 9 m - 51 - 5 m + 45

= - m + 4

Para serem coplanares, esse produto misto tem que ser zero. Então...

- m + 4 = 0

m = 4

Prontinho!

Resposta

m = 4

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