Enunciado

Dados os pontos A 2,1 , 1 ,   B - 1,0 , 1 e   C ( 3,2 , - 2 ) , determinar o ponto D do eixo O z para que o volume do paralelepípedo determinado por A B → ,   A C → e A D → seja 25   u . v .

Passo 1

E aí, tudo joia?

O volume do paralelepípedo é calculado pelo módulo do produto misto entre os vetores.

Aqui a gente tem os pontos, precisamos então calcular os vetores pra começar...

Vamos fazer A B → ,   A C →   e   A D → ...

O ponto do eixo O z tem coordenadas x   e   y iguais a zero. Então D é da forma:

D ( 0,0 , z )

Passo 2

Vamos calcular os vetores então:

A B → = ( - 3 , - 1,0 )

A C → = ( 1,1 , - 3 )

A D → = ( - 2 , - 1 , z - 1 )

Agora a gente vai fazer o produto misto entre esses três vetores...

Passo 3

O produto misto é dado pelo determinante da matriz formada pelos vetores:

d e t - 3 - 1 0 1 1 - 3 - 2 - 1 z - 1 = - 3 1 - 3 - 1 z - 1 + 1 1 - 3 - 2 z - 1 + 0 1 1 - 2 - 1

= - 3 z - 1 - 3 + 1 z - 1 - 6 + 0 ( - 1 + 2 )

= - 3 z - 4 + z - 7 + 0

= - 3 z + 12 + z - 7

= - 2 z + 5

A gente quer que o volume seja 25   então...

- 2 z + 5 = 25

Daí temos duas possibilidades:

- 2 z + 5 = 25 → - 2 z = 20 → z = - 10

2 z - 5 = 25 → 2 z = 3 0 → z = 15

Então temos duas possibilidades para o ponto D :

D = ( 0,0 , - 10 ) ou D = ( 0,0 , 15 )

E prontinho! 😉

Resposta

D = ( 0,0 , - 10 ) ou D = ( 0,0 , 15 )

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Determine a área do paralelogramo com vértices em K ( 1 ,2 ,3 ) ,L ( 1 ,3 ,6 ) ,M ( 3 ,8 ,6 ) e N ( 3 ,7 ,3 ) .
Calcule o volume do paralelepípedo com lados adjacentes PQ, PR e PS. P = - 2,1 , 0 ,Q = 2,3 , 2,R = 1,4 , - 1eS = ( 3,6 , 1 )
Utilize o produto misto para determinar se os vetores a = 2 i + 3 j + k , b = i - j e c = 7 i + 3 j + 2 k são coplanares.
Use o produto misto para determinar se os pontos P 1,0 , 1 , Q 2,4 , 6 , R 3 , - 1,2 e S 6,2 , 8 pertencem ao mesmo plano.
Calcule o volume do paralelepípedo com lados adjacentes P Q , P R e P S P 0 , 1 , 2 Q 2 , 4 , 5 R - 1 , 0 , 1 S 6 , - 1,4