Enunciado

Para quais valores de a as matrizes abaixo são diagonalizáveis?

  1. A = 1 1 0 a
  2. B = 1 a 0 1

Passo 1

  1. Pra matriz ser diagonalizável, ela vai precisar ter dois autovetores distintos. Então vamos calcular eles!
  2. 1 - λ 1 0 a - λ = 0

    1 - λ a - λ = 0

    Então os autovalores são λ = 1 e λ = a . Beleza. Agora vamos substituir pra achar os autovetores:

    1 - λ 1 0 a - λ x y = 0 0

    Para λ = 1 :

    0 1 0 a - 1 x y = 0 0

    a - 1 y = 0

    Então y = 0 e x está livre! O autovetor de λ = 1 é ( 1 ,   0 ) .

    Para λ = a :

    1 - a 1 0 0 x y = 0 0

    1 - a x + y = 0

    y = a - 1 x

    Para esse cara ser diferente do de cima, o y não pode ser 0 quando o x for 1 .

    0 ≠ a - 1 × 1

    a ≠ 1

    Passo 2

  3. Aqui vai ser a mesma idéia! Vamos calcular os autovalores pra começar.

1 - λ a 0 1 - λ = 0

1 - λ 2 = 0

Então o único autovalor é λ = 1 . Substituindo em:

1 - λ a 0 1 - λ x y = 0 0

Para λ = 1 :

0 a 0 0 x y = 0 0

Só tem um jeito de isso ter dois autovetores diferentes: tanto x quanto y serem livres! Mas repara no seguinte: se o a for diferente de 0 , ferrou, o y vai estar determinado e ser igual a 0 . O único jeito de fugir disso é:

a = 0

Resposta

  1. a ≠ 1
  2. a = 0
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Determine A para cada matriz A as potências A k ,p a r ak = 1,2 , 3 , … c) 0 0 0 0 0 - 1 - 1 1 0
Determine A para cada matriz A as potências A k ,p a r ak = 1,2 , 3 , … c) 0 - 2 3 0 1 0 0 - 2 3
Determine A para cada matriz A as potências A k ,p a r ak = 1,2 , 3 , … b) 3 0 - 3 1 3 - 1 0 0 0
Ache para cada matriz A , se possível, uma matriz não-singular P tal que P - 1 A P seja diagonal:d) 3 - 2 1 0 2 0 0 0 0
Ache para cada matriz A , se possível, uma matriz não-singular P tal que P - 1 A P seja diagonal:c) 1 2 3 0 1 0 2 1 2