Enunciado

Verificar se a matriz A é diagonalizável. Caso seja, determinar uma matriz P que diagonaliza A e calcular P - 1 A P .

A = 1 2 1 - 1 3 1 0 2 2

Passo 1

O problema fornece uma matriz A e pede para verificar se ela é diagonalizável ou não. Se ela for, temos que encontrar a matriz P de modo que P - 1 A P seja diagonal.

Basicamente, o que temos que fazer é encontrar os autovalores de A e seus autovetores associados. Se os autovetores formarem uma base, então a matriz será diagonalizável! Neste caso, as colunas da matriz P são as componentes dos autovetores.

já primeira coisa que você tem que tentar fazer é achar os autovalores resolvendo a equação característica:

det ⁡ A - λ I = 0

Assim,

1 - λ 2 1 - 1 3 - λ 1 0 2 2 - λ = 0

Desenvolvendo o determinante com relação a primeira coluna:

1 - λ ⋅ 3 - λ 2 - λ - 2 - - 1 ⋅ 2 2 - λ - 2 = 0

Assim,

1 - λ λ 2 - 5 λ + 4 + 2 1 - λ = 0

Colocando ( 1 - λ ) em evidência:

1 - λ λ 2 - 5 λ + 6 = 0

Resolvendo a equação λ 2 - 5 λ + 6 = 0 , obtemos λ = 2 e λ = 3 . Assim,

λ - 1 λ - 2 λ - 3 = 0

Portanto, os autovalores são

λ 1 = 1 ,   λ 2 = 2     e     λ 3 = 3

Como a dimensão da matriz é três e ela tem três autovalores distintos, A é diagonalizável!

Passo 2

Agora vamos procurar os autovetores pela equação

A - λ I a b c = 0 0 0

Para λ 1 = 1 :

0 2 1 - 1 2 1 0 2 1 a b c = 0 0 0

Note que a terceira linha é idêntica a primeira, então vamos descarta-la. Fazendo a primeira equação menos a segunda:

a = 0

Assim, na primeira:

2 b + c = 0 ⇒ c = - 2 b

Logo,

v 1 = a ,   b ,   c = 0 ,   b ,   - 2 b = b   ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Por simplicidade, vamos escolher b = 1 :

v 1 = ( 0 ,   1 ,   - 2 )

Analogamente, para λ 2 = 2 :

- 1 2 1 - 1 1 1 0 2 0 a b c = 0 0 0

Da terceira equação, tiramos

b = 0

Assim, a primeira equação se torna idêntica a segunda:

- a + c = 0 ⇒ c = a

Portanto,

v 2 = a ,   b ,   c = a ,   0 ,   a = a   ( 1 ,   0 ,   1 )

Escolhendo a = 1 :

v 2 = ( 1 ,   0 ,   1 )

Por fim, com λ 3 = 3 :

- 2 2 1 - 1 0 1 0 2 - 1 a b c = 0 0 0

Da segunda equação, temos

- a + c = 0 ⇒ c = a

Da terceira:

2 b - c = 0 ⇒ c = 2 b

Logo, a = c = 2 b :

v 3 = a ,   b ,   c = 2 b ,   b ,   2 b = b   ( 2 ,   1 ,   2 )

Tomando b = 1 :

v 3 = ( 2 ,   1 ,   2 )

Passo 3

Para construir a matriz P , basta lembrar que suas colunas são os autovetores:

P = 0 1 2 1 0 1 - 2 1 2

Assim, o produto P - 1 A P será diagonal com as entradas da diagonal sendo os autovalores:

P - 1 A P = 1 0 0 0 2 0 0 0 3

Resposta

P = 0 1 2 1 0 1 - 2 1 2

P - 1 A P = 1 0 0 0 2 0 0 0 3

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