Enunciado

Para cada uma das seguintes matrizes simétricas A , encontrar uma matriz ortogonal P , para a qual P t A P seja diagonal.

A = 2 2 2 5

Passo 1

O problema fornece uma matriz simétrica A e pede para encontrarmos uma matriz ortogonal de modo que P t A P seja diaogonal.

Para isso, temos que lembrar que uma matriz simétrica é sempre diagonal e seus autovetores serão ortogonais entre si. Assim, a matriz de mudança de base P construída com os autovetores de A será ortogonal ( P t = P - 1 ). Desta forma, o que temos que fazer é encontrar os autovetores de A e normalizá-los para construir P !

O primeiro passo é encontrar os autovalores de A pela equação característica:

det ⁡ ( A - λ I ) = 0

Assim,

2 - λ 2 2 5 - λ = 0

Desta forma,

2 - λ 5 - λ - 4 = 0 ⇒ λ 2 - 7 λ + 6 = 0

Portanto, os autovalores são

λ 1 = 1             e           λ 2 = 6

Passo 2

Agora vamos procurar os autovetores:

A - λ I   v = 0

Para λ 1 = 1 :

1 2 2 4 a b = 0 0

Assim, tiramos que

a + 2 b = 0 ⇒ a = - 2 b

Logo,

v 1 = a ,   b = - 2 b ,   b = b   ( - 2 ,   1 )

Para que ele seja normalizado, b = 1 / 5 :

v 1 = - 2 5 ,   1 5

Já para o segundo autovalor λ 2 = 6 :

- 4 2 2 - 1 a b = 0 0

Portanto,

2 a - b = 0 ⇒ b = 2 a

Assim,

v 2 = a ,   b = a ,   2 a = a   ( 1 ,   2 )

Escolhendo a = 1 / 5 :

v 2 = 1 5 , 2 5

Note que v 1 ⋅ v 2 = 0 . Portanto os autovetores são ortogonais, como deve ser!

Passo 3

Agora que temos os autovetores, basta construir a matriz P com eles:

P = - 2 5 1 5 1 5 2 5

Com essa matriz,

P t A P = 1 0 0 6

Resposta

P = - 2 5 1 5 1 5 2 5

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