Enunciado

68. Verificar se são coplanares os pontos:

a) A 1,1 , 1 , B - 2 , - 1 , - 3 , C 0,2 , - 2 e D - 1,0 , - 2

b) A 1,0 , 2 , B - 1,0 , 3 , C 2,4 , 1 e D - 1,0 , - 2

c) A 2,1 , 3 , B 3,2 , 4 ,   C - 1 , - 1 , - 1 e D 0,1 , - 1

Passo 1

(a) Vamos primeiro achar três vetores que esses pontos formam:

A B → = B - A

A B → = - 2 , - 1 , - 3 - 1,1 , 1

A B → = - 3 , - 2 , - 4

A C → = C - A

A C → = 0,2 , - 2 - 1,1 , 1

A C → = - 1,1 , - 3

A D → = D - A

A D → = - 1,0 , - 2 - 1,1 , 1

A D → = ( - 2 , - 1 , - 3 )

Passo 2

Agora vamos fazer o produto misto dos três vetores:

A B → , A C → , A D → = - 3 - 2 - 4 - 1 1 - 3 - 2 - 1 - 3

= - 3 1 - 3 + - 2 - 3 - 2 + - 4 - 1 - 1 - - 2 1 - 4 - - 1 - 3 - 3 - - 3 - 1 - 2

= 0

Como é igual a zero, então são coplanares.

Resposta

São coplanares.

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70. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares:a) a = 2 , - 1 , k ,b = 1,0 , 2 e c = k , 3 , k b) a = 2,1 , 0 ,b = 1,1 , - 3 e c = k , 1 , - k c) a = 2 , k , 1 ,b = 1,2 , k
69. Para que valor de m os pontos A m , 1,2 ,B 2 - 2 , - 3 ,C 5 , - 1,1 e D 3 , - 2 , - 2 são coplanares?
75. Calcular o volume do tetraedro A B C D , sendo dados:a) A 1,0 , 0 , B 0,1 , 0 , C 0,0 , 1 e D 4,2 , 7 b) A - 1,3 , 2 , B 0,1 , - 1 , C - 2,0 , 1 e D 1 , - 2,0 . Para este, calcular também a medida
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