Enunciado

Verifique, em cada caso, se existe uma reta t que contém P e é concorrente com r e s nos pontos A e B de tal modo que os segmentos A P e B P sejam congruentes; caso exista, obtenha uma equação vetorial de t .

  1. P = 1 ,   - 1 ,   - 9 , r : X = 0 , - 4,1 + λ 2,1 , 0 , s : X = 0 , - 3 , - 3 + μ 1,0 , 2 .
  2. P = 1,2 , 3 , r : X = 0,0 , 0 + λ 1,0 , 1 , s : X = 1,1 , 1 + μ 2,1 , 1 .

Passo 1

Inicialmente, note que A B P são colineares. Assim, para que A P = B P , ou A = B ou P é ponto médio de A B .

Passo 2

  1. Vamos supor que A = B . Assim, tanto r quando s devem passar pelo mesmo ponto.
  2. Portanto, vamos começar calculando a interseção entre tais retas:

    X r = X s ⟹ 2 λ ,   λ - 4 ,   1 = μ ,   - 3 ,   2 μ - 3 ∴ 2 λ = μ λ - 4 = - 3 1 = 2 μ - 3

    Da segunda equação, encontramos λ = 1 e da última μ = 2 o que satisfaz a primeira. Assim, temos 2 ,   - 3 ,   1 como ponto de intersecção. Como t deve passar por P e por tal ponto, segue que sua equação é:

    t : X t = P + k P A → ⟹ X t = 1 ,   - 1 , - 9 + k 1 , - 2,10 ,     k ∈ R

    Passo 3

    Agora suponha que A ≠ B , de modo que

    P = A + B 2 ⟹ A + B = 2 P ∴ A + B = 2 , - 2 , - 18

    Como A ∈ r e B ∈ s , segue que

    2 λ ,   λ - 4 ,   1 + μ , - 3,2 μ - 3 = 2 ,   - 2 ,   - 18 ∴ 2 λ + μ = 2 λ - 7 = - 2 2 μ - 2 = - 18

    Da segunda equação, tiramos que λ = 5 e da última, μ = - 8 . Note que 2 5 - 8 = 2 . Assim, temos que A = 10 ,   1 ,   1 . A equação da reta será:

    t : X t = A + k P A → = 10,1 , 1 + k 9,2 , 10

    Passo 4

  3. Vamos proceder da mesma forma que no item (a):
  1. Consideremos A = B . Assim,
  2. X r = X s ⟹ λ ,   0 ,   λ = 2 μ + 1 ,   μ + 1 ,   μ + 1 ∴ λ = 2 μ + 1 0 = μ + 1 λ = μ + 1

    A segunda equação nos dá μ = - 1 , de modo que a primeira nos dá λ = - 1 e a última λ = 0 , o que é impossível. Portanto, não existe t nessas condições.

  3. Consideremos A ≠ B . Assim,

2 P = A + B ∴ A + B = 2,4 , 6

⟹ λ ,   0 , λ + 2 μ + 1 ,   μ + 1 ,   μ + 1 = 2,4 , 6 ⟹ λ + 2 μ = 1 μ + 1 = 4 λ + μ = 5

Da segunda equação, temos μ = 3 , de modo que da primeira temos λ = - 5 e da última λ = 2 .

Concluímos que não existe reta t para o item (b)!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Dados a reta r e o plano π , determine o valor de m para que se tenha r / / π e r ⊥ π , nos casos: r : x = - 3 + t y = - 1 + 2 t z = 4 t e π : m x - y - 2 z - 3 = 0
Dados a reta r e o plano π , determine o valor de m para que se tenha r / / π e r ⊥ π , nos casos: r : x . y . z = 1,2 , 0 + t 2 , m , - 1 e π : 3 x + 2 y + m z = 0
Estabelecer equação reduzidas na variável x da reta de interseção dos planos: π 1 : 3 x - 2 y - z - 1 = 0 e π 2 : x + 2 y - z - 7 = 0
Calcular os valores de m e n para que a reta r esteja contida no plano π π : x = - 2 + t y = 3 - 2 t z = 2 t e r : m x + 2 y - 3 z + n = 0
Determinar o ponto de interseção da reta r com o plano π . r : y = x - 10 z = - x + 1 e π : 2 x - y + 3 z - 9 = 0