Enunciado

Verifique para quais pontos X da reta r a área do triângulo A B X é a menor possível e comente as peculiaridades geométricas de cada caso.

a) A = 2 ,   3 ,   1                           B = 7 ,   1 ,   5                           r : X = - 4 ,   6 ,   1 + λ 1 ,   2 ,   2

Passo 1

Um ponto genérico X da reta r é dado por

X = - 4 + λ ,   6 + 2 λ ,   1 + 2 λ

Sabendo que A B → = B - A = 5 ,   - 2 ,   4 e A X → = X - A = λ - 6 ,   2 λ + 3 ,   2 λ , a área do triângulo A B X é metade da área do paralelogramo, ou seja:

A t = A B → ∧ A X → 2

Substituindo os vetores que temos:

A t = 5 ,   - 2 ,   4 ∧ λ - 6 ,   2 λ + 3 ,   2 λ 2

A t = ( - 12 λ - 12 ,   - 6 λ - 24 ,   12 λ + 3 ) 2

Calculando o módulo do vetor:

A t = - 12 λ - 12 2 + - 6 λ - 24 2 + ( 12 λ + 3 ) ² 2

A t = 144 λ 2 + 288 λ + 144 + 36 λ 2 + 288 λ + 576 + 144 λ 2 + 72 λ + 9 2

A t = 324 λ 2 + 648 λ + 729 2

Passo 2

Sabendo que a área do triângulo A B X é dada por A t = 324 λ 2 + 648 λ + 729 2

Temos que encontrar os valores de λ que fazem essa expressão ser a menor possível, para aí encontrarmos o X tal que a área seja a menor.

Para encontrarmos o λ que faz essa função ser mínima, como a > 0 (a parábola tem concavidade para cima), temos que encontrar o vértice de 324 λ 2 + 648 λ + 729 , dado por

λ m i n = - b 2 a

λ m i n = - 648 2 . 324 = - 648 648 = - 1

Ou seja, o λ que faz nossa função de área do triângulo ter o menor valor, é λ = - 1 , que quando substituído na expressão nos dá:

A t = 324 . 1 - 648 + 729 2 = 405 2

Substituindo λ m i n no ponto genérico X , temos:

X = - 4 + λ ,   6 + 2 λ ,   1 + 2 λ

X m i n = - 5 ,   4 ,   - 1

Resposta

X m i n = - 5 ,   4 ,   - 1

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