Enunciado

O vértice de uma pirâmide regular é P = 2 , 2,0 e sua base é um quadrado A B C D contido no plano π : x - z = 0 . Sendo A = 0,2 , 0 , determine os outros três vértices.

Passo 1

É importante começarmos a questão entendendo o que é uma pirâmide de base quadrada regular. Uma pirâmide regular é uma pirâmide cujos lados triangulares são triângulos isósceles.

Esta pirâmide possui uma característica bastante interessante. Se projetarmos o vértice P na base A B C D , a projeção será o ponto Q , o qual é o ponto médio do quadrado!

E a relação dos outros vértices com a aresta A Q será a chave para resolvermos a questão!

Passo 2

Nosso primeiro passo será criar uma reta perpendicular ao plano π e que passa por P . Se a reta é perpendicular ao plano π , sabemos automaticamente qual é o vetor diretor da reta!

E ele é quem? O vetor normal do plano! Logo, n → = 1,0 , - 1 . Então, escrevemos a seguinte equação da reta:

r : X = P + λ n →

r : X = 2 , 2,0 + λ 1,0 , - 1

Mas para que construímos esta reta? A nossa intenção é fazer a interseção da reta com o plano para conseguir o ponto Q . Construímos ela somente para isto!

Então, calculando a interseção da reta com o plano, temos:

2 + λ - - λ = 0

λ = - 2 2

Então, o ponto Q será:

Q = 2 + λ , 2 , - λ = 2 - 2 2 , 2 , 2 2

Q = 2 2 , 2 , 2 2

Passo 3

E agora? O que fazer? A dica é lembrar da geometria do quadrado!

Nosso primeiro vértice será o mais fácil, o vértice oposto ao vértice A . Isto é, o da diagonal (vamos dizer que é o vértice C para facilitar).

Portanto, vamos encontrar o vértice C , tal que o segmento A C é diagonal do quadrado. Este ponto C será expresso exatamente por:

C = Q + A Q →

Já que o ponto Q é o ponto médio da diagonal A C . Portanto,

C = 2 2 , 2 , 2 2 + 2 2 , 2 , 2 2 - 0,2 , 0

C = 2 2 , 2 , 2 2 + 2 2 , 0 , 2 2

C = 2 , 2 , 2

Passo 4

E agora? O que fazer para encontrarmos os vértices B e D ?

Então, o nosso primeiro passo é lembrar que a diagonal B D é perpendicular a diagonal A C . Esta relação é chave para conseguirmos escrever a reta da diagonal B D .

Então, vamos bem devagar. Queremos um vetor diretor s → = a , b , c . Quem é a , b e c ? Não sabemos ainda.

O que sabemos é que s → pertence ao plano π . Portanto, é ortogonal ao seu vetor normal. Logo, temos a seguinte relação matemática:

s → ⋅ n → = 0

a , b , c ⋅ 1,0 , - 1 = 0

a - c = 0

a = c

Então, o vetor que estamos buscando possui o seguinte formato: s → = a , b , a . Precisamos de mais uma relação! E para isto, vamos utilizar outra relação de ortogonalidade!

As diagonais A C e B D de um quadrado não são perpendiculares? Então, os vetores A Q → e s → , representantes das diagonais A C e B D , respectivamente, são ortogonais. E se temos vetores ortogonais........ temos:

s → ⋅ A Q → = 0

Agora é só completar a relação acima!

a , b , a ⋅ 2 2 , 0 , 2 2 = 0

2 2 a + 2 2 a = 0

2 a = 0

a = 0

Portanto, o vetor que buscamos é s → = 0 , b , 0 . E este b ai dentro? Tanto faz qual o valor dele, pois o que queremos é manter a direção! Então, se escolhermos b = 1 , temos s → = 0 , 1 , 0 e a seguinte reta:

s : X = Q + λ s →

s : X = 2 2 , 2 , 2 2 + λ 0,1 , 0

Passo 5

Para finalizarmos a questão, vamos descobrir os valores de λ que satisfazem a relação de distância do centro do quadrado ao vértice.

Isto é, para X pertencente a reta s , quais os valores de λ que nos darão os pontos B e D ? Para isto, basta usarmos a seguinte relação:

d X , Q = d A , Q

Portanto,

2 2 - 2 2 2 + 2 - 2 - λ 2 + 2 2 - 2 2 2 = 2 2 - 0 2 + 2 - 2 2 + 2 2 - 0 2

0 2 + - λ 2 + 0 2 = 2 2 2 + 0 2 + 2 2 2

λ 2 = 1

λ 2 = 1

λ = ± 1

Portanto, finalizando a questão, temos os seguintes vértices:

B = 2 2 , 1 , 2 2

D = 2 2 , 3 , 2 2

Resposta

B = 2 2 , 1 , 2 2

C = 2 , 2 , 2

D = 2 2 , 3 , 2 2

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