Enunciado

Sejam π : x + y = 1 , r : X = 0,1 , 1 + λ 1,0 , 1 , s : X = 2 , - 1,1 + λ 0,1 , 1 e t : X = 0 , - 1,3 + λ 1,1 , 0 .

  1. Prove que existe um único ponto A comum às retas r , s e t e calcule suas coordenadas.
  2. Os pontos B , C e D pertencem, respectivamente, a r , s e t . Calcule suas coordenadas, sabendo que o plano B C D é paralelo a π e o volume do tetraedro A B C D é 1 / 6 (SO).

Passo 1

Vamos provar a letra a) da forma mais simples: determinando o próprio ponto.

Como assim isto prova? Vejam só, vamos fazer a interseção da reta r com a reta s . Como elas não são paralelas (basta verificar que os vetores diretores não são paralelos), temos apenas duas possibilidades: retas reversas ou coincidentes.

Em outras palavras, a interseção é apenas um ponto ou nada. Como a questão pede para determinar este ponto interseção das 3 retas, é claro que as retas r e s tem o ponto A como única interseção.

Depois, vamos pegar este ponto A e substituir na equação da reta t para verificar se existe algum valor de λ que satisfaz. E novamente, é claro que existirá.

Passo 2

Então, vamos começar fazendo a interseção da reta r e da reta s . Sendo assim, temos que resolver o seguinte sistema:

λ = 2 1 = - 1 + μ 1 + λ = 1 + μ

Em relação ao sistema acima, o primeiro membro consiste das coordenadas da reta r e o segundo membro as coordenadas da reta s . Agora, vamos descobrir os valores de λ e μ que satisfazem o sistema. Portanto,

λ = 2 1 = - 1 + μ 1 + λ = 1 + μ ⟹ λ = 2 μ = 2 1 + 2 = 1 + 2 ⟹ λ = 2 μ = 2 3 = 3

Portanto, existe uma interseção (terceira equação é uma verdade). E este ponto será A = 2,1 , 3 .

Agora, vamos confirmar que este ponto também pertence a reta t . Portanto, vamos verificar se existe λ tal que:

2,1 , 3 = 0 , - 1,3 + λ 1,1 , 0

2,1 , 3 = λ , - 1 + λ , 3

Então, se λ = 2 , temos:

2,1 , 3 = 2 , - 1 + 2,3 = 2,1 , 3

Logo, temos uma verdade. Portanto, o único ponto da interseção de r e s também pertence a reta t . Assim, provamos a afirmativa da questão!

Passo 3

Agora vamos com calma.

Sabemos que os pontos B , C e D pertencem as retas r , s e t , respectivamente. Consequentemente, eles satisfazem as suas equações.

Sendo assim, podemos dizer que existem α , β e γ tais que:

B = 0,1 , 1 + α 1,0 , 1 = α , 1,1 + α

C = 2 , - 1,1 + β 0,1 , 1 = 2 , - 1 + β , 1 + β

D = 0 , - 1,3 + γ 1,1 , 0 = γ , - 1 + γ , 3

Agora, queremos calcular o volume do tetraedro A B C D . Para isto, vamos precisar fazer o produto misto entre os vetores A B → , A C → e A D → . Então, vamos calcula-los primeiramente. Logo,

A B → = B - A = α , 1,1 + α - 2,1 , 3 = α - 2,0 , α - 2

A C → = C - A = 2 , - 1 + β , 1 + β - 2,1 , 3 = 0 , β - 2 , β - 2

A D → = D - A = γ , - 1 + γ , 3 - 2,1 , 3 = γ - 2 , γ - 2,0

E assim, o volume do tetraedro será:

V o l u m e = A B → , A C → , A D → 6 = 1 6

A B → , A C → , A D → = 1

α - 2 0 α - 2 0 β - 2 β - 2 γ - 2 γ - 2 0 = 1

Poxa, mas o determinante acima está em função de 3 variáveis diferentes? E agora? O que fazemos?

Passo 4

E aí? O que fazer? Precisamos descobrir alguma relação entre os parâmetros α , β e γ .

Esta relação irá sair do fato que o plano B C D é paralelo ao plano π . Então, existe algum valor de d tal que o plano B C D será dado por π 1 : x + y + d = 1 .

E os pontos B , C e D não pertencem a este plano π 1 que escrevemos? É daqui que sairá as relações que precisamos! Vamos substituir as coordenadas dos pontos, as quais escrevemos no Passo 3, e isolar o valor de d em cada uma das equações.

Portanto, começando por B = α , 1,1 + α , temos:

α + 1 + d = 1

d = - α

Para C = 2 , - 1 + β , 1 + β , temos:

2 - 1 + β + d = 1

d = - β

Para D = γ , - 1 + γ , 3 , temos:

γ - 1 + γ + d = 1

d = 2 - 2 γ

Então, temos as seguintes relações:

d = - α = - β = 2 - 2 γ

Ou,

α = β = 2 γ - 2

Com isto, conseguimos relacionar tanto α quanto β com uma única variável γ . Poderemos então reescrever o determinante em função de uma única variável.

Passo 5

Iremos reescrever o determinante do final do Passo 3 em função apenas de γ , e assim calculá-lo e descobrir qual o valor de γ que satisfaz a relação. Portanto,

α - 2 0 α - 2 0 β - 2 β - 2 γ - 2 γ - 2 0 = 1

2 γ - 2 0 2 γ - 2 0 2 γ - 2 2 γ - 2 γ - 2 γ - 2 0 = 1

0 + 0 + 0 - γ - 2 ⋅ 4 γ - 2 2 + γ - 2 ⋅ 4 γ - 2 2 + 0 = 1

- 8 γ - 2 3 = 1

- 8 γ - 2 3 = ± 1

Vamos analisar as duas possibilidades. Se - 8 γ - 2 3 = 1 , temos:

γ - 2 3 = - 1 8

γ - 2 = - 1 2

γ = 2 - 1 2 = 3 2

Já se - 8 γ - 2 3 = - 1 ,

γ - 2 3 = 1 8

γ - 2 = 1 2

γ = 2 + 1 2 = 5 2

Portanto, temos γ 1 = 3 / 2 e γ 2 = 5 / 2

Passo 6

Agora que conseguimos descobrir os valores de γ , vamos descobrir os valores de α e β associados, e, consequentemente, as coordenadas dos pontos B , C e D .

Começaremos então para γ 1 = 3 / 2 . Então,

α = β = 2 γ - 2

α = β = 3 - 2 = 1

Desta forma, as coordenadas dos pontos B , C e D serão:

B = α , 1,1 + α = 1,1 , 2

C = 2 , - 1 + β , 1 + β = 2,0 , 2

D = γ , - 1 + γ , 3 = 3 2 , 1 2 , 3

Já para γ 2 = 5 / 2 , temos:

α = β = 2 γ - 2

α = β = 5 - 2 = 3

Desta forma, as coordenadas dos pontos B , C e D serão:

B = α , 1,1 + α = 3,1 , 4

C = 2 , - 1 + β , 1 + β = 2,2 , 4

D = γ , - 1 + γ , 3 = 5 2 , 3 2 , 3

Resposta

Temos duas possibilidades. A primeira é:

B = 1,1 , 2

C = 2,0 , 2

D = 3 2 , 1 2 , 3

Já a segunda é:

B = 3,1 , 4

C = 2,2 , 4

D = 5 2 , 3 2 , 3

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