Enunciado

O vetor v = ( 3 ,   2 ) experimenta sequencialmente:

1) Uma reflexão em torno da reta y = x ;

2) Um cisalhamento horizontal da fetor 2 ;

3) Uma contração na direção O y de fator 1 3 ;

4) Uma rotação de 90 ° no sentido anti-horário.

a) Calcular o vetor resultante dessa sequência de operações.

b) Encontrar a expressão da transformação linear T :   R 2 → R 2 que representa a composta das quatros operações.

c) Determinar a matriz canônica da composta das operações.

Passo 1

O problema pede para estudarmos a transformação composta que representa a sequência de transformações dadas. Por simplicidade, vou fazer o exercício de trás para frente: achar primeiro a matriz, depois a transformação e só daí calcular o vetor resultante quando essa transformação age sobre v = ( 3 ,   2 ) .

Para acharmos a matrzi, lembre-se que

A ∘ B ∘ C ∘ D = A ⋅ B ⋅ C ⋅ [ D ]

Assim, temos que achar a matriz de cada transformação e multilplicar todas elas, seguindo a ordem da última transformação para a primeira.

Neste caso, a primeira transformação é uma reflexão em torno da reta y = x :

x , y → ( y , x )

Assim,

[ D ] = 0 1 1 0

Já a segunda transformação é um cisalhamento por fator 2 na direção x :

x , y → ( x + 2 y , y )

Portanto,

C = 1 2 0 1

Já a terceira transformação é uma contração por fator 1 3 na direção y :

x , y → x , y 3

Logo,

B = 1 0 0 1 3

Por fim, a última transformação é uma rotação de 90 ° no sentido anti-horário. Usando a matriz de rotação com θ = 90 ° :

A = 0 - 1 1 0

Assim, a matriz resultante será

T = A ⋅ B ⋅ C ⋅ D = 0 - 1 1 0 ⋅ 1 0 0 1 3 ⋅ 1 2 0 1 ⋅ 0 1 1 0

Portanto,

T = 0 - 1 3 1 0 ⋅ 2 1 1 0

Logo,

T = - 1 / 3 0 2 1

Passo 2

Da matriz, tiramos que

T x , y = - 1 / 3 0 2 1 ⋅ x y = - x 3 2 x + y

Portanto,

T x , y = - x 3 , 2 x + y

Assim,

T 3 ,   2 = - 1 ,   6 + 2 = ( - 1 ,   8 )

Resposta

- 1 ,   8

T x , y = - x 3 , 2 x + y

T = - 1 / 3 0 2 1

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