Enunciado

Os pontos A ( 2 , - 1 ) e B ( - 1 ,   4 ) são vértices consecutivos de um quadrado. Calcular os outros dois vértices, utilizando a matriz-rotação.

Passo 1

A questão nos deu dois pontos A ( 2 , - 1 ) e B ( - 1 ,   4 ) e disse que eles são vértices consecutivos de uma quadrado. Para isso, vamos usar a matriz de rotação:

T θ = cos ⁡ θ - s e n   θ s e n   θ cos ⁡ θ

Sabemos que o vetor u = A B → = - 1 ,   4 - 2 , - 1 = ( - 3 ,   5 ) é um lado do quadrado. Se rotacionar esse vetor em 90 ° , obtemos outro lado:

Para θ = 90 ° :

T θ = 0 - 1 1 0

Assim,

0 - 1 1 0 ⋅ - 3 5 = - 5 - 3

Assim, temos que o vetor que liga os vértices A e D do quadrado são

A D → = ( - 5 , - 3 )

Portanto,

D - A = - 5 , - 3 ⇒ D = 2 , - 1 + ( - 5 , - 3 )

Logo,

D ( - 3 ,   - 4 )

Passo 2

Para achar o ponto C , temos que pegar o vetor   D A → = ( 5 ,   3 ) e girar 90 ° :

0 - 1 1 0 ⋅ 5 3 = - 3 5

Portanto,

D C → = ( - 3 ,   5 )

Logo,

C - D = - 3 ,   5 ⇒ C = - 3 ,   5 + ( - 3 , - 4 )

Desta forma,

C ( - 6 ,   1 )

Passo 3

Podemos obter outra solução para o problema efetuando as rotações no sentido contrário, com θ = - 90 ° :

T θ = 0 1 - 1 0

Assim,

0 1 - 1 0 ⋅ - 3 5 = 5 3

De modo que

D = 2 , - 1 + 5 ,   3 = ( 7 ,   2 )

Desta forma,   D A → = ( - 5 ,   - 3 ) :

0 1 - 1 0 ⋅ - 5 - 3 = - 3 5

Portanto,

C = 7 ,   2 + - 3 ,   5 = ( 4 ,   7 )

Resposta

D - 3 , - 4       e       C ( - 6 ,   1 )

ou

D 7 ,   2       e           C ( 4 ,   7 )

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Determinar o ângulo α formado pelos vetores v e T ( v ) quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ângulo θ , no seguintes casos. v = 3 2 2 , 2 4 , 2 2 e θ = 180 °
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