Enunciado

Determinar o ângulo α formado pelos vetores v e T ( v ) quando o espaço gira em torno do eixo dos z de um ângulo θ , no seguintes casos.

v = 3 2 2 , 2 4 , 2 2         e         θ = 6 0 °

Passo 1

Queremos o ângulo entre os vetores v e T ( v ) , onde T é a rotação em torno do eixo z :

T = cos ⁡ θ - s e n   θ 0 s e n   θ cos ⁡ θ 0 0 0 1

Neste caso, θ = 6 0 ° , de modo que

1 / 2 - 3 / 2 0 3 / 2 1 / 2 0 0 0 1 ⋅ 3 2 2 2 4 2 2 = 3 4 2 - 3 2 8 3 4 2 + 2 8 2 2 = 0 2 2 2 2

Assim,

T v = 0 , 2 2 , 2 2

Passo 2

Para acharmos o ângulo entre v e T ( v ) :

cos ⁡ α = v ⋅ T v v T v

Neste caso,

v = 3 8 + 2 16 + 1 2 = 1

T v = 1 2 + 1 2 = 1

Além disso,

v ⋅ T v = 2 8 + 2 4 = 3 4

Portanto,

cos ⁡ α = 3 4 1 ⋅ 1 = 3 4

Logo,

α = arccos ⁡ 3 4

Resposta

α = arccos ⁡ 3 4

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