Enunciado

Os pontos A ( - 1 , - 1 ) , B ( 4 ,   1 ) e C ( a ,   b ) são vértices de um triângulo retângulo isósceles, reto em A . Determinar o vértice C fazendo usao da matriz-rotação.

Passo 1

A questão nos deu dois pontos A ( - 1 , - 1 ) e B ( 4 ,   1 ) e disse que eles são vértices de um triângulo retângulo isósceles reto em A . Devemos procurar o outro vértice usando uma matriz rotação:

T θ = cos ⁡ θ - s e n   θ s e n   θ cos ⁡ θ

Sabemos que o vetor u = A B → = 4 ,   1 - - 1 , - 1 = ( 5 ,   2 ) é um dos lados do triângulo. Se rotacionar esse vetor em 90 ° , obtemos outro lado:

Para θ = 90 ° :

T θ = 0 - 1 1 0

Assim,

0 - 1 1 0 ⋅ 5 2 = - 2 5

Assim, temos que o vetor que liga os vértices A e C do triângulo são

A C → = ( - 2 ,   5 )

Portanto,

C - A = - 2 ,   5 ⇒ C = - 1 , - 1 + ( - 2 ,   5 )

Logo,

C ( - 3 ,   4 )

Passo 2

Podemos obter outra solução para o problema efetuando as rotações no sentido contrário, com θ = - 90 ° :

T θ = 0 1 - 1 0

Assim,

0 1 - 1 0 ⋅ 5 2 = 2 - 5

De modo que

C = - 1 , - 1 + 2 ,   - 5 = ( 1 ,   - 6 )

Resposta

C - 3 ,   4         o u         C ( 1 , - 6 )

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