Enunciado

Às vezes, os autovetores que estudamos nesta seção são denominados autovetores à direita, para distingui-los de autovetores à esquerda, que são matrizes coluna x de tamanho n   ×   1 que satisfazem a equação x T A = μ x T   com algum escalar μ . Qual será a relação, se houver, entre os autovetores à direita e autovalores correspondentes e os autovetores à esquerda e autovalores correspondentes?

Passo 1

Vamos lá! Temos que lembra que nossos autovetores à direita podem ser escritos como:

A x = λ x     ( I )

Já nossos autovetores à esquerda são escritos como:

x T A = μ x T     ( I I )

Passo 2

Vamos aplicar a matriz transposta de ambos os lados na equação que representa nossos autovetores à esquerda:

x T A T = μ x T T

A T x = μ x     ( I I I )

Agora que tal multiplicarmos nossa equação ( I I I ) por A , assim temos:

A ⋅ A T x = A ⋅ μ x       ( I V )

Passo 3

Da nossa equação ( I ) temos que A x = λ x , que tal aplicarmos isso na nossa equação ( I V ) temos:

A ⋅ A T x = A ⋅ μ x = λ ⋅ x μ

Assim a relação entre nossos autovetores à esquerda e nossos autovetores à direita é dada por:

A A T - λ μ = 0 .

Isso é tudo pessoal! \o/

Resposta

A A T - λ μ = 0 .

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