Enunciado

Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativo. Mostre que: (a)Se D 1 e D 2 são matrizes diagonais n   x   n , então D 1 D 2 = D 2 D 1 .

Passo 1

Fala aee, galera! Tudo bem? 😊

As matrizes D 1 e D 2 são diagonais. Portanto:

D 1 = a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n

D 2 = b 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ b n n

Passo 2

O produto D 1 D 2 é dado por:

D 1 D 2 = a 11 b 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ a n n b n n

O produto D 2 D 1 é dado por:

D 2 D 1 = b 11 a 11 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ b n n a n n

Portanto:

D 1 D 2 = D 2 D 1

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o

Exercícios de Livros Relacionados

Se A B = B A e p é um número inteiro positivo, mostre que A B p = A p B p .
Para matrizes quadradas A = a i j n x n definimos o traço de A como sendo a soma dos elementos da diagonal(principal) de A , ou seja, t r A = ∑ i = 1 n a i i .(b) Mostre que t r α A = α t r A
Já vimos que o produto de matrizes não é comutativo. Entretanto, certos conjuntos de matrizes são comutativo. Mostre que: (b)Se A é uma matriz nxn e B = a 0 I n + a 1 A + a 2 A 2 + … + a k A k em que
Sejam E 1 = 1 0 0 ⋮ 0 , E 2 = 0 1 0 ⋮ 0 , … , E n = 0 0 0 ⋮ 1 matrizes nx1 . (a) Mostre que se A = a 11 a 12 … a 1 n a 21 a 22 … a 2 n ⋮ ⋮ … ⋮ a m 1 a m 2 … a m n é uma matriz mxn , então A E j é igua
Mostre que a matriz identidade I n é a única matriz tal que A I n = I n A = A para qualquer matriz A ,nxn . (Sugestão: Seja J n uma matriz tal que A J n = J n A = A . Mostre que J n = I n