Complemento Ortogonal e Matrizes

Teoria Completa

Vamos prestar atenção agora que isso é muito importante galera! Lembra de como encontrávamos o complemento ortogonal de um subespaço? Bom, vamos ver um exemplo:

Sendo H = 1,2 , 2,1 , 1,0 , 1,1 , vamos encontrar H ⊥ :

Jogamos os vetores geradores de H nas linhas de uma matriz e resolvemos o sistema homogêneo:

A v = 0

1 2 2 1 1 0 1 1 0 0 → L 2 ← L 2 - L 1 1 2 2 1 0 - 2 - 1 0 0 0

Logo, temos que:

- 2 y - z = 0 ⇒ z = - 2 y

x + 2 y + 2 z ⏟ - 4 y + w = 0 ⇒ x - 2 y + w = 0 ⇒ w = - x + 2 y

Então, nosso vetor v é dado por:

v = x , y , - 2 y , - x + 2 y = x 1,0 , 0 , - 1 + y 0,1 , - 2,2

Logo, temos:

H ⊥ = 1,0 , 0 , - 1 , 0,1 , - 2,2

Bom, vamos analisar esses resultados, que tal? Bom, H ⊥ é o espaço gerado pelos vetores que zeram a matriz A , logo, por definição:

H ⊥ = N u c A

Vamos pegar agora A T :

1 1 2 0 2 1 1 1

Sabemos que a imagem de uma matriz é dada pelo espaço gerado por suas colunas certo? Mas o espaço gerado pelas colunas de A T é exatamente H !!! Então:

H = I m A T

Pera, então isso quer dizer que:

N u c A = I m A T ⊥ ⇔ I m A T = N u c A ⊥

Por outro lado, se chamarmos A de A T , teremos que A T será a nova A . Portanto:

N u c A T = I m A ⊥ ⇔ I m A = N u c A T ⊥

Traduzindo para o português, temos que o complemento ortogonal da imagem de uma matriz, é o núcleo de sua transposta.

Enquanto o complemento ortogonal do núcleo de uma matriz, é a imagem de sua transposta.

E isso é um resultado extremamente importante e abre espaço para uma série de análises mais profundas!! Vamos ver mais sobre isso nos exercícios.

Expandir

Exercício Resolvido #1

UFRJ-P3-2012.1

Seja A uma matriz quadrada e sejam u → ,   v → e w → vetores tais que A u → = 0 → e w → = A T v → .

Então u → e w → são ortogonais entre si.

a   A afirmativa é falsa

b   A afirmativa é verdadeira

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Passo 1

Bom, primeiro vamos dar uma olhada em onde estão os vetores u e w certo?

Como temos A u → = 0 → , u → ∈ N u c A , concordam?

Por outro lado, como w → = A T v → , temos que w → ∈ I m ( A T ) ! Todo vetor que pode ser gerado pelas combinações das colunas de uma matriz faz parte da imagem dela ;)

Opa, espera aí, o que nós sabemos sobre o núcleo de uma matriz e a imagem de sua transposta? Aquele negócio MUITO importante que vocês não podiam esquecer lembram?

N u c A = I m A T ⊥

Sabemos que a imagem da transposta de A é o complemento ortogonal do núcleo de A . Em outras palavras, os vetores do núcleo de A são ortogonais aos vetores da imagem de A T .

Como u → ∈ N u c A e w → ∈ I m A T , temos que u → ⊥ w → !! Logo, eles são ortogonais.

Resposta

Letra b

Exercício Resolvido #2

UFRJ-2013.2

Suponha que a matriz A é 3 × 3 e que sua imagem é gerada pelo vetor ( 1 ,   1 ,   1 ) .

Assinale a afirmativa VERDADEIRA:

a   O núcleo de A é o conjunto de soluções de x + y + z = 0

b   O núcleo de A T é gerado pelo vetor ( - 1 ,   - 1 ,   - 1 )

c   O núcleo de A T é o conjunto de soluções de x + y + z = 0

d   A imagem de A T é o conjunto de soluções de x + y + z = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Opa apareceu imagem, espaço gerado e transpostas nas opções. Já sabem né? Como podemos relacionar a imagem de uma matriz com sua transposta?

I m A ⊥ = N u c ( A T )  

O núcleo de A T é o complemento ortogonal da imagem de A . Bom, vamos acha-lo então!

Passo 2

Temos que

I m A = 1,1 , 1

Logo, o complemento ortogonal da imagem de A é dado por:

1 1 1 0

Ou seja, N u c A T é o conjunto solução da equalão a abaixo:

x + y + z = 0

Opa, só um minuto. Dá uma olhada lá na letra c ! Isso mesmo, não precisamos nem calcular qual o conjunto solução. Resposta é a letra c !

Resposta

Letra c

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P4-2015.1

Seja U um subespaço de R 4 e V o seu complemento ortogonal. Podemos afirmar que:

a   Existe um vetor de R 4 que não pertence à soma de U e V .

b   A dimensão de U é maior ou igual à dimensão de V

c   Se as linhas de uma matriz A formam uma base para U , então I m A = V ⊥

d   Se as linhas de uma matriz A formam uma base para U , então N u c A = V .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Vamos analisar letra por letra.

a   Sabemos que a soma de U e V gera o R 4 inteiro, pois a soma das dimensões tem que dar o espaço todo em que se encontram. Então essa é falsa, não tem como um vetor do R 4 não pertencer ao R 4 haha

Passo 2

b   Se por acaso U tiver dimensão igual a 1 , então o seu complemento terá dimensão 3 , não é necessário que a dimensão de U seja maior que a de V e sim que:

dim ⁡ U + dim ⁡ V = dim ⁡ R 4

Passo 3

c   Sabemos que para achar o complemento ortogonal de um conjunto, basta fazermos o produto interno de um vetor genérico do espaço (no caso o R 4 ) com os vetores de U . Em matrizes isso fica:

Sendo { u 1 , … , u k } base de U

← u 1 →   ⋮   ← u k → ⋅ x 1 ⋮ x n = 0

A = ← u 1 →   ⋮   ← u k →

E portanto, temos:

A T = ↑ ⋯ ↑ u 1 ⋯ u k ↓ ⋯ ↓

Logo podemos dizer que a imagem de A T , seria igual à U , que é o complemento ortogonal de V :

U = I m A T = V ⊥

Então essa também é falsa.

Passo 4

d   Sabemos que o sistema homogêneo:

← u 1 →   ⋮   ← u k → ⋅ x 1 ⋮ x n = 0

é o complemento ortogonal de U , ou seja, V . Então o núcleo da matriz A é V :

N u c A = V

E essa é a opção correta.

Resposta

Letra d

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