Exercícios Resolvidos de Algumas funções úteis – Parte 2

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Enunciado

O adaptador para redução de ruído é um equipamento utilizado para reduzir o efeito de interferência de ruídos em um sinal. Por exemplo, um microfone que é utilizado para gravar sinais de voz de um grande auditório. Outro microfone é usado na parte de trás do auditório para colher principalmente os sinais de ruído. Através das técnicas para cancelamento de ruídos, as características do sinal de ruído podem ser determinadas usando o sinal de dois microfones. Os adaptadores são utilizados para reduzir o ruído oriundo da parte de trás do auditório, para poderem ser transmitidos para a sala de controle. Este processo resulta num sinal limpo e uma melhor comunicação.

Os algoritmos para os adaptadores estão acima do nível deste texto, mas a performance e a velocidade do algoritmo dependem das características dos sinais de entrada. Estas características determinam a superfície multidimensional quadrática para que obtenhamos um valor mínimo. Este mínimo é determinado ajustando o algoritmo para um ponto de partida para um único mínimo. Se a superfície quadrática tem um contorno circular, o algoritmo não é necessário. A matriz R pode ser computada a partir dos sinais de entrada, e os autovalores da matriz R irão determinar o tipo de superfície de contorno a ser utilizada. Se os autovalores forem iguais, a superfície é circular. Quanto maior a variação dos autovalores, mais elíptica será a superfície. Os autovetores representam o eixo principal da superfície. Portanto para determinar a velocidade e a performance do algoritmo do adaptador com certeza do tipo de dados e para analisar a superfície, nós precisamos determinar os autovalores e autovetores da matriz R .

Escreva um programa para ler os valores da matriz R , e depois calcule os autovalores e autovetores.

R = 0,5 0,25 0,25 0,5

Passo 1

O exercício traz um textão para dar uma contextualização, mas basicamente o que ele quer é que calculemos os autovalores e os autovetores da matriz R . Faremos isso por meio da função e i g do MATLAB.

Passo 2

Entre com a matriz R no MATLAB:

Em seguida, aplicaremos a função e i g em R . A função e i g ( ) tem a sintaxe:

V , D = e i g ( A )

Ela tem como entrada uma matriz quadrada A e nos retorna as matrizes V e D . As colunas da matriz V são os autovetores de A e a matriz D é uma matriz diagonal com os autovalores de A . Portanto, em seu script, adicione o comando:

A matriz V terá os autovetores de R e a matriz D , os autovalores. Execute o comando acima para ver V e D :

Passo 3

A partir do texto do enunciado, podemos interpretar o resultado. Temos que os autovetores de R são:

- 0,7071 0,7071 e 0,7071 0,7071

E os autovalores de R são 0,25 e 0,75 . Como os autovalores não são iguais, a superfície quadrática não possui um contorno circular, o que fará com que a performance do adaptador será lenta e menos precisa.

Este exemplo é bem simples, com uma matriz 2 × 2 . Mas, por exemplo, se estivéssemos trabalhando com comunicação com satélites, a matriz R teria milhares de linhas de colunas e teríamos que usar outros comandos para verificar a igualdade dos autovalores.

Resposta

Os autovetores de R são:

- 0,7071 0,7071 e 0,7071 0,7071

Os autovalores de R são 0,25 e 0,75 .