Exercícios Resolvidos de Algumas funções úteis – Parte 2

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Enunciado

Na definição de autovalores e autovetores, temos que, dada uma matriz quadrada A:

A * V = V * D

onde V é uma matriz cujas colunas correspondem aos autovetores e D é uma matriz diagonal, em que os elementos da diagonal principal são os autovalores da matriz A.

Usando o MATLAB, dada a matriz:

A = 6   7   1   8     5   3   1   7     3   0     6   7     5   4     7   0      

  1. Encontre os autovalores e os autovetores de A;
  2. Verifique a igualdade A * V = V * D   .

Passo 1

A questão pede que apliquemos diretamente a função eig() do MATLAB na matriz A (letra a da questão) e, em seguida, verifiquemos a igualdade A * V = V * D     (letra b). Usando diretamente as saídas da função eig(), podemos resolver a letra b, já que a função eig()nos retorna as matrizes V e D exatamente no formato descrito no enunciado.

Passo 2

Vamos começar com a letra a, que nos pede para encontrar os autovalores e os autovetores da matriz A. Primeiramente, temos que entrar com a matriz A no MATLAB, no Command Window, com a seguinte linha de código:

A = [6 7 1 8; 5 3 1 7; 3 6 5 7; 0 7 4 0]

No Command Window do MATLAB, fica assim:

Em seguida, aplicamos diretamente a função eig() para encontrar os autovalores e os autovetores de A, entrando com o seguinte comando do Command Window:

[V,D] = eig(A)

Com esse comando, pedimos à função eig() que nos informe os autovalores e os autovetores de A e ela nos retorna duas matrizes: V e D. vamos ver como isso fica no MATLAB:

A matriz V apresenta os autovetores de A: cada coluna de V é um autovetor de A. Já a matriz D é uma matriz diagonal que nos apresenta os autovalores de A. Cada elemento da diagonal principal de D é um autovalor.

Portanto, os autovetores da matriz A são:

0,5990   0,4366   0,5857   0,3280     T

- 0,2358   - 0,5130   - 0,1792   0,8057     T

0,6009   0,2411   - 0,6947   - 0,3134     T

- 0,7369   0,2031   - 0,4271   0,4831     T

E os autovalores são:

16,4604   - 5,3467   3,4804   - 0,5942    

Passo 3

Concluindo a letra a da questão, temos as matrizes V e D para verificar a igualdade A * V = V * D   . Primeiramente, fazemos o produto A * V e em seguida, o produto V * D , e comparamos os resultados. Vamos ver como fica no Command Window do MATLAB:

Veja que os resultados são idênticos. Logo, A * V = V * D .

Resposta

  1. Os autovetores da matriz A são:
  2. 0,5990   0,4366   0,5857   0,3280     T

    - 0,2358   - 0,5130   - 0,1792   0,8057     T

    0,6009   0,2411   - 0,6947   - 0,3134     T

    - 0,7369   0,2031   - 0,4271   0,4831     T

    E os autovalores são:

    16,4604   - 5,3467   3,4804   - 0,5942    

  3. Utilizando [V,D] = eig(A) , encontramos as matrizes V e D no formato adequado para verificar a igualdade A * V = V * D . O produto A * V e o produto V * D resultam na mesma matriz, que chamarei de P, apresentada abaixo: