Exercícios Resolvidos de Amostragens

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Enunciado

Acredita-se que aproximadamente 15 % das partículas contidas em um carregamento de

um minério de prata são de argentinita, A g S 2 ( d = 7,3   g   c m - 3 ,   87 %     e m   A g ) ; o restante é silício ( d = 2 ,   5   g   c m - 3 ) e essencialmente não contém prata.

(a) Calcule o número de partículas que deve ser tomado para a amostra bruta se for

esperado que o desvio relativo devido à amostragem seja de 1% ou menos.

(b) Estime a massa da amostra bruta considerando que as partículas sejam esféricas

e tenham um diâmetro médio de 4,0 mm.

(c) A amostra tomada para a análise deve pesar 0,600 g e deve conter o mesmo número

de partículas que a amostra bruta. Que diâmetro devem ter as partículas para satisfazer estes critérios?

Passo 1

A gente vai tirar uma amostra bruta de um material heterogêneo, minério de prata e a primeira coisa que queremos saber é o número de partículas que devemos ter para que o desvio padrão relativo da amostragem seja de no máximo 1 % .

Para isso usamos a expressão:

N = 1 - p p σ r 2

Onde N é o número de partículas, p a probabilidade de encontramos aleatóriamente a particula de interesse e σ r o desvio padrão relativo.

Se a particula de interesse for a argenita, o enunciado diz que 15 % do minério é composto por ela, logo a p = 0,15 , substituindo:

N = 1 - 0,15 0,15 × 0,01 2 = 56.666,66

Ou:

N = 56.667   p a r t í c u l a s

Passo 2

Mas não é muito viável ficar contando 56.667 partículas, certo?! Então vamos calcular a massa dessa amostra!

Se as partículas são uniformes com D = 4   m m ou r = 0,2   c m , podemos calcular o volume da amostra:

V = N × 4 3 π r 3

Substituindo e calculando:

V = 56.667   × 4 3 π × 0,2 3

V = 1899     c m 3

Para calcular a massa fazemos:

m = d × V

Mas a amostra é heterogênia, com 15 % de A g S 2 e 85 %   de S i então podemos fazer:

m = 0,15   d A g S 2 × V + 0,85   ( d S i × V )

Sabendo que d A g S 2 = 7,3   g / c m 3 e d S i = 2,5   g / c m 3 , então:

m = 0,15   7,3 g c m 3 × 1899     c m 3 + 0,85   2,5 g c m 3 × 1899     c m 3

Calculando achamos:

m = 6114,78   g

Passo 3

Pra acabar, a gente quer saber qual é o diâmetro que as partículas devem ter para que uma massa de 0,600   g tenha o mesmo número de partículas que a amostra bruta!

Para isso vamos usar a expressão que usamos no passo anterior:

m = 0,15   d A g S 2 × V + 0,85   ( d S i × V )

Substituindo a fórmula de volume:

m = 0,15   d A g S 2 × N 4 3 π r 3 + 0,85   d S i × N 4 3 π r 3

Vamos dar uma arrumadinha:

m = N 4 3 π r 3 0,15 d A g S 2 + 0,85 d S i

Isolando o raio:

r 3 = m 4 3 N π 0,15 d A g S 2 + 0,85 d S i

Mas queremos o diâmetro, então:

D 2 3 = m 4 3 N π 0,15 d A g S 2 + 0,85 d S i

E ficamos com:

D = m 4 3 N π 0,15 d A g S 2 + 0,85 d S i 3

Substituindo os dados, lembrando que agora a massa é de 0,600   g :

D = 0,600 4 3 × 56.667 π 0,15 × 7,3 + 0,85 × 2,5 3

Calculando:

D = 9,22 × 10 - 3   c m 3

Uhuuul, gostei de ver!!!!

Resposta

  1. N = 56.667   p a r t í c u l a s  
  2. m = 6114,78   g
  3. D = 9,22 × 10 - 3   c m 3

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