Exercícios Resolvidos de Análise em frequência

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Enunciado

Calule a razão de amplitude e o ângulo de fase para a resposta considerando a função de transferência abaixo:

G s = 3 s + 5

A entrada é senoidal e tem a seguinte forma:

Dê a expressão da resposta y ( t ) .

Passo 1

Para calcular a razão de amplitude e ângulo de fase da função de transferência, devemos sempre substituir s por i ω , sendo ω a frequência em r a d / s e g da entrada. Sendo assim:

G i ω = 3 i ω + 5

Pelo gráfico podemos ver que a entrada efetua um ciclo a cada 2,5   s e g u n d o s , sendo assim, a frequência em hertz será:

f = 1 2,5 = 0,4   s e g 1

Para passar para r a d / s e g :

ω = 2 π f

ω = 2 π * 0,4 = 0,8 π

Substituindo na função de transferência:

G i ω = 3 0,8 π i + 5

Passo 2

A razão de amplitude R A , pode ser calculada como o módulo da função de transferência:

R A = G i ω

R A = 3 0,8 π i + 5

O módulo de um quociente pode ser reescrito como o módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador. Sendo assim:

R A = 3 0,8 π i + 5

O módulo de um número imaginário é a raiz quadrada do quadrado da parte imaginária mais o quadrado da parte real. Portanto:

R A = 3 0,64 π 2 + 25 = 0,54

Passo 3

O ângulo de fase de um quociente pode ser reescrito como a diferença entre o ângulo de fase dos dois termos. Sendo assim:

θ = ∠ 3 0,8 π + 5 = ∠ 3 - ∠ 0,8 π i + 5

Para calcular o ângulo de fase de um número deve-se calcular o arcotangente da parte imaginária dividida pela parte real. Sendo assim:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ 0,8 π 5

Portanto:

θ = - tan - 1 ⁡ 0,8 π 5 = - 0,47   r a d

Passo 4

A resposta y ( t ) terá a seguinte forma:

y t = Y 0 sen ⁡ ( ω t + θ )

A frequência, ω , será a mesma da frequência da entrada, então:

ω = 0,8 π

O ângulo de fase já foi calculado:

θ = - 0,47   r a d / s  

Já para calcular a amplitude, devemos usar a definição de razão de amplitude, que é a razão entra a amplitude da saída pela amplitude de entrada

R A = Y 0 X 0  

A razão de amplitude já foi calculada e a amplitude da entrada pode ser obtida pelo gráfico, sendo assim:

Y 0 = R A * X 0

R A = 0,54

X 0 = 2

Y 0 = 0,54 * 2 = 1,08

A expressão da resposta y ( t ) será, então:

y t = 1,08 sen ⁡ 0,8 π t - 0,47

Resposta

R A = 0,54

θ = - 0,47   r a d

y t = 1,08 sen ⁡ 0,8 π t - 0,47