Exercícios Resolvidos de Análise em frequência

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Enunciado

Determine as expressões analíticas para a magnitude e a fase da resposta de:

G s = 1 ( s + 2 ) ( s + 4 )

Passo 1

Primeiramente vamos efetuar a multiplicação entre os termos do denominador:

G s = 1 s 2 + 6 s + 8

Para calcular a razão de amplitude e ângulo de fase da função de transferência, devemos sempre substituir s por i ω , sendo ω a frequência em r a d / s e g da entrada. Sendo assim:

G i ω = 1 i ω 2 + 6 i ω + 8

Como:

i ω 2 = - ω 2

Teremos:

G i ω = 1 6 i ω + 8 - ω 2

Passo 2

A razão de amplitude R A , pode ser calculada como o módulo da função de transferência:

R A = G i ω

R A = 1 6 i ω + 8 - ω 2

O módulo de um quociente pode ser reescrito como o módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador. Sendo assim:

R A = 1 6 i ω + 8 - ω 2

O módulo de um número imaginário é a raiz quadrada do quadrado da parte imaginária mais o quadrado da parte real. Portanto:

R A = 1 36 ω 2 + 8 - ω 2 2

Passo 3

O ângulo de fase de um quociente pode ser escrito como a diferença entre o ângulo de fase dos dois termos. Sendo assim:

θ = ∠ 1 6 i ω + 8 - ω 2 = ∠ 1 - ∠ 6 i ω + 8 - ω 2

Para calcular o ângulo de fase de um número deve-se calcular o arcotangente da parte imaginária dividida pela parte real. Sendo assim:

θ = tan - 1 ⁡ 0 - tan - 1 ⁡ 6 ω 8 - ω 2

Portanto:

θ = - tan - 1 ⁡ 6 ω 8 - ω 2

Resposta

R A = 1 36 ω 2 + 8 - ω 2 2

θ = - tan - 1 ⁡ 6 ω 8 - ω 2