Exercícios Resolvidos de Análise em frequência

Ver Teoria

Enunciado

Determine expressões analíticas para a magnitude e a fase da resposta de:

G s = 2 ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 )

Passo 1

Primeiramente vamos efetuar a multiplicação entre os termos do denominador:

G s = 2 ( s + 1 ) s 2 + 5 s + 6

Para calcular a razão de amplitude e ângulo de fase da função de transferência, devemos sempre substituir s por i ω , sendo ω a frequência em r a d / s e g da entrada. Sendo assim:

G i ω = 2 ( i ω + 1 ) i ω 2 + 5 i ω + 6

Como:

i ω 2 = - ω 2

Teremos:

G i ω = 2 ( i ω + 1 ) 5 i ω + 6 - ω 2

Passo 2

A razão de amplitude R A , pode ser calculada como o módulo da função de transferência:

R A = G i ω

R A = 2 ( i ω + 1 ) 5 i ω + 6 - ω 2

O módulo de um quociente pode ser resscrito como o módulo do numerador dividido pelo módulo do denominador. Sendo assim:

R A = 2 ( i ω + 1 ) 5 i ω + 6 - ω 2

E o módulo de um produto é igual ao produto dos módulos:

R A = 2 |   | ( i ω + 1 )     5 i ω + 6 - ω 2

O módulo de um número imaginário é a raiz quadrada do quadrado da parte imaginária mais o quadrado da parte real. Portanto:

R A = 2 ω 2 + 1 25 ω 2 + 6 - ω 2 2

Ou ainda:

R A = 2 ω 2 + 1 25 ω 2 + 6 - ω 2 2

Passo 3

O ângulo de fase de um quociente pode ser escrito como a diferença entre o ângulo de fase dos dois termos. Sendo assim:

θ = ∠ 2 ( i ω + 1 ) 5 i ω + 6 - ω 2 = ∠ 2 ( i ω + 1 ) - ∠ 5 i ω + 6 - ω 2

E o ângulo de fase de um produto pode ser dividido como a soma do ângulo de fase das parcelas:

θ = ∠ 2 + ∠ i ω + 1 - ∠ 5 i ω + 6 - ω 2

Para calcular o ângulo de fase de um número deve-se calcular o arcotangente da parte imaginária dividida pela parte real. Sendo assim:

θ = tan - 1 ⁡ 0 + tan - 1 ⁡ ω - tan - 1 ⁡ 5 ω 6 - ω 2

Portanto:

θ = tan - 1 ⁡ ω - tan - 1 ⁡ 5 ω 6 - ω 2

Resposta

R A = 2 ω 2 + 1 25 ω 2 + 6 - ω 2 2

θ = tan - 1 ⁡ ω - tan - 1 ⁡ 5 ω 6 - ω 2