Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear da Função Inversa

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Enunciado

Seja g : R ² → R de classe C 3 , sobre a qual se sabe que g 1,3 = 5   e   g 2 , - 1 = - 2 .

Considere agora sua função gradiente G : R ² → R ² definida como:

G x , y = ∇ g x , y = f x ( x , y ) f y ( x , y )  

Sobre G se sabe (sendo D ( x 0 , y 0 ) G a matriz jacobiana de G no ponto ( x 0 , y 0 ) ) :

G 1 , 3 = - 2 0                                                         G 2 , - 1 = 1 3

D ( 1 , 3 ) G = - 1 2 2 - 4                                                 D ( 2 , - 1 ) G = 0 3 3 2

  1. Em quais dos pontos ( 1,3 ) , ( 2 , - 1 ) se aplica o Teorema da Função Inversa para g ( x , y ) ? E para G ( x , y ) ? Nos casos em que se aplica escreva a conclusão completa do Teorema.

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Vamos começar resolvendo para g ( x , y ) . Usaremos o Teorema da Função Inversa:

F - 1 ' Y 0 = F ' X 0 - 1

Show, mas como vai funcionar para a nossa g x , y ? Importante destacar uma coisa do enunciado:

G x , y = ∇ g x , y = f x ( x , y ) f y ( x , y )  

G 1,3 = - 2 0

G 2 , - 1 = 1 3

Logo, podemos afirmar que:

G 1 , 3 = ∇ g 1 , 3 = f x ( 1 , 3 ) f y ( 1 , 3 ) =   - 2 0

G 2 , - 1 = ∇ g 2 , - 1 = f x ( 2 , - 1 ) f y ( 2 , - 1 ) =   1 3

Com essas informações, podemos começar a calcular.

Passo 2

Vamos lá, como vai ser o teorema da função inversa? Para começar, precisamos calcular a Matriz Jacobiana da nossa g ( x , y ) , que felizmente já foi dado para a gente:

∇ g x , y = f x ( x , y ) f y ( x , y )

Se a gente aplicar na fórmula do T.F.I:

g - 1 ' Y 0 = g ' X 0 - 1

g - 1 ' Y 0 = f x ( X 0 ) f y ( X 0 ) - 1

Opa, achamos um problema aqui. Reparem que nós precisamos inverter a nossa matriz, porém ela não é quadrada, logo, ela não possui matriz inversa. Então o Teorema da Função Inversão não se aplica a nenhum ponto de g ( x , y ) .

Passo 3

Show, agora vamos olhar para a G ( x , y ) . Vamos seguir o mesmo protocolo:

G - 1 ' Y 0 = G ' X 0 - 1

Para o ponto 1,3 :

D ( 1,3 ) G = - 1 2 2 - 4                                                 D ( 2 , - 1 ) G = 0 3 3 2

G - 1 ' Y 0 = - 1 2 2 - 4 - 1

Show, agora precisamos inverter a nossa Matriz, como faremos isso? Primeiro precisamos verificar o determinante da nossa matriz original:

d e t - 1 2 2 - 4 = - 1 - 4 - 2 2 = 4 - 4 = 0

Opa, determinante deu zero. Isso significa que a nossa matriz não possui inversa, logo aqui o Teorema da Função inversa não se aplica.

Passo 4

Estamos quase lá galera. Falta verificar o segundo ponto (2,-1):

D ( 2 , - 1 ) G = 0 3 3 2

G - 1 ' Y 0 = 0 3 3 2 - 1

Vamos começar verificando o determinante:

d e t 0 3 3 2 = 0 2 - 3 3 = 0 - 9 = - 9

Opa, determinante diferente de zero, então pode existir ainda uma inversa. Vamos continuar. Agora vamos ter que calcular:

0 3 3 2 - 1 = 1 d e t 0 3 3 2 2 - 3 - 3 0 = 1 - 9 2 - 3 - 3 0

1 - 9 2 - 3 - 3 0 = - 2 / 9 + 3 / 9 + 3 / 9 0 / 9 = - 2 9 1 3 1 3 0

Resposta

D e s e n v o l v i m e n t o