Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear da Função Inversa

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Enunciado

Seja g : R ² → R de classe C 3 , sobre a qual se sabe que g 1,3 = 5   e   g 2 , - 1 = - 2 .

Considere agora sua função gradiente G : R ² → R ² definida como:

G x , y = ∇ g x , y = f x ( x , y ) f y ( x , y )  

Sobre G se sabe (sendo D ( x 0 , y 0 ) G a matriz jacobiana de G no ponto ( x 0 , y 0 ) ) :

G 1 , 3 = - 2 0                                                         G 2 , - 1 = 1 3

D ( 1 , 3 ) G = - 1 2 2 - 4                                                 D ( 2 , - 1 ) G = 0 3 3 2

  1. A função g admite polinômio de Taylor de grau 2 em algum dos pontos dados? Justifique e determine o(s) ponto(s) e polinômio(s).

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Bom, ele pede que a gente verifique se a nossa função vai admitir polinômio de Taylor de Grau 2.

Para isso, temos que verificar a existência de todas as derivadas de ordem 2 e felizmente isso é dado no enunciado.

Lembrando que a estrutura do polinômio de Taylor é a seguinte:

P x 0 , y 0 = f x 0 , y 0 + f x x 0 , y 0 n ! x - x 0 n + f y x 0 , y 0 n ! y - y 0 n + f x y x 0 , y 0 n ! y - y 0 m x - x 0 p

Lembrando que:

n → É   a   o r d e m   d a   d e r i v a d a

m + p = n

Então vamos começar fazendo cada polin��mio para cada ponto do enunciado.

Passo 2

Vamos lá, começando por ( 1,3 )

Vamos começar identificando as primeiras derivadas:

G x , y = ∇ g x , y = f x ( x , y ) f y ( x , y )  

Reparem que o enunciado nos diz que:

G 1,3 = - 2 0

Então podemos afirmar que:

G 1,3 = ∇ g 1 , 3 = f x ( 1 , 3 ) f y ( 1 , 3 ) = - 2 0

Show, e para as derivadas de segunda ordem? Bom, também é dado para a gente. Reparem só, vamos ter que lembrar que:

G x , y = f x x , y f y x , y

D G = f x x ( x , y ) f y x x , y f x y x , y f y y x , y

E o enunciado nos diz que:

D ( 1,3 ) G = - 1 2 2 - 4

Então:

D ( 1,3 ) G = f x x ( 1,3 ) f y x 1,3 f x y 1,3 f y y 1,3 = - 1 2 2 - 4

Show, já temos todas as nossas derivadas parciais, e agora? Bom, vamos montar o nosso polinômio de acordo com a estrutura.

Passo 3

Começaremos calculando cada componente:

g 1,3 = 5

g x 1,3 1 ! x - 1 1 = - 2 1 ! x - 1 1 = - 2 x

g y 1,3 1 ! y - 3 1 = 0 1 ! y - 3 1 = 0

g x x 1,3 2 ! x - 1 2 = - 1 2 ! x - 1 2 = - x 2 - 2 x + 1 2

g y y 1,3 2 ! y - 3 2 = - 4 2 ! y - 3 2 = - 2 y 2 + 12 y - 18

g x y 1,3 2 ! y - 3 x - 1 = 2 2 ! y - 3 x - 1 = x y - y - 3 x + 3

g y x 1,3 2 ! y - 3 x - 1 = 2 2 ! y - 3 x - 1 = x y - y - 3 x + 3

Juntando tudo no polinômio:

P 1,3 = 5 - 2 x - x 2 2 + x - 1 2 + - 2 y 2 - 12 y + 18 + 2 x y - 2 y - 6 x + 6

P 1,3 = 57 2 - 7 x - x 2 2 - 2 y 2 - 14 y + 2 x y

Resposta

P 1,3 = 57 2 - 7 x - x 2 2 - 2 y 2 - 14 y + 2 x y