Exercícios Resolvidos de Aproximação Linear da Função Inversa

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 11, Questão 2

2. Seja u , v , w = f x , y , z ,   x , y , z U , onde U é um conjunto aberto e f é de classe C 1 . Sabe-se que 1,0 , - 1   U ,   f 1,0 , - 1 = 1,2 , - 3 e D f 1,0 , - 1 =   1 0 1 0 - 2 0 0 2 1

a) Existe uma função f - 1 inversa da função f definida em f V , onde V é uma vizinhança de 1,0 , - 1 ,   f V é um conjunto aberto, 1,2 , - 3 f V e f - 1 é da classe C 1 . Por que é possível garantir que essa afirmação é verdadeira?

b) Encontre D f - 1 1,2 , - 3

c) Encontre D f - 1 1,2 , - 3 u , v , w - 1,2 , - 3 , para u , v , w f V ;

d) Encontre uma aproximação afim de f - 1 u , v , w para u , v , w f V .

Passo 1

a) Essa afirmação contém tudo que precisamos para garantir a existência da função inversa. As condições são:

  • f é da classe C 1
  • U é aberto
  • det D f 1,0 , - 1 0
  • Pois det D f 1,0 , - 1 = det 1 0 1 0 - 2 0 0 2 1 = - 2

    Passo 2

    b) Calcular D f - 1 1,2 , - 3 :

    Já vimos que f admite inversa em X 0 = 1,0 , - 1

    Portanto podemos usar o teorema da função inversa:

    f - 1 ' Y 0 = f ' X 0 - 1

    X 0 = 1,0 , - 1

    f 1,0 , - 1 = 1,2 , - 3 = Y 0

    Sabemos que:

    f ' 1,0 , - 1 = 1 0 1 0 - 2 0 0 2 1

    Temos de calcular a sua inversa.

    Passo 3

    Calculando f ' 1,0 , - 1 - 1 :

    1 0 1 0 - 2 0 0 2 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 l 1 = l 1 - l 3 1 - 2 0 0 - 2 0 0 2 1 1 0 - 1 0 1 0 0 0 1

    l 1 = l 1 - l 2 1 0 0 0 - 2 0 0 2 1 1 - 1 - 1 0 1 0 0 0 1 l 2 = l 2 - 2 1 0 0 0 1 0 0 2 1 1 - 1 - 1 0 - 1 2 0 0 0 1 l 3 = l 3 - 2 l 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 - 1 - 1 0 - 1 2 0 0 1 1

    Logo:

    f ' 1,0 , - 1 - 1 = 1 - 1 - 1 0 - 1 2 0 0 1 1

    Passo 4

    Substituindo na equação:

    f - 1 ' Y 0 = f ' X 0 - 1

    f - 1 ' 1,2 , - 3 = f ' 1,0 , - 1 - 1

    Temos:

    f - 1 ' 1,2 , - 3 = 1 - 1 - 1 0 - 1 2 0 0 1 1

    Passo 5

    c) Ele quer   D f - 1 1 , 2 , - 3 u , v , w - 1,2 , - 3 ,   porém sabemos que:

    D f - 1 1,2 , - 3 = f - 1 ' 1,2 , - 3 = 1 - 1 - 1 0 - 1 2 0 0 1 1

    Vamos ajeitar:

    u , v , w - 1,2 , - 3 = u - 1 , v - 2 , w + 3

    Temos então:

    D f - 1 1,2 , - 3 u , v , w - 1,2 , - 3 = 1 - 1 - 1 0 - 1 2 0 0 1 1 u - 1 v - 2 w + 3 = u - v - w - 2 1 - v / 2 v + w + 1

    Passo 6

    d)

    A aproximação linear é dada por:

    A X = F - 1 P 0 + F - 1 ' P 0 . ( X - P 0 )

    P 0 = 1,0 , - 1

    Então temos:

    A u , v , w = f - 1 1,2 , - 3 +   D f - 1 1,2 , - 3 u , v , w - 1,2 , - 3

    Pela propriedade de função inversa, se

    f 1,0 , - 1 = 1,2 , - 3

    Então

    f - 1 1,2 , - 3 = 1,0 , - 1

    Fica:

    A u , v , w = 1,0 , - 1 +   D f - 1 1,2 , - 3 u , v , w - 1,2 , - 3

    Substituindo, o que já calculamos no item anterior :

    A u , v , w = 1 0 - 1 + u - v - w - 2 1 - v / 2 v + w + 1

    Ajeitando:

    A u , v , w =   u - v - w - 1 1 - v / 2 v + w

    Resposta

    a) Essa afirmação contém tudo que precisamos para garantir a existência da função inversa. As condições são:

  • f é da classe C 1
  • U é aberto
  • det D f 1,0 , - 1 0

Pois det D f 1 , 0 , - 1 = det 1 0 1 0 - 2 0 0 2 1 = - 2

b) f - 1 ' 1 , 2 , - 3 = 1 - 1 - 1 0 - 1 2 0 0 1 1

c) D f - 1 1 , 2 , - 3 u , v , w - 1,2 , - 3 = u - v - w - 2 1 - v / 2 v + w + 1

d) A x , y , z =   u - v - w - 1 1 - v / 2 v + w

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