Enunciado

Considere a equação 𝑥 − c o s c o s   𝑥   = 0 . Obtenha a raiz positiva com cinco casas decimais corretas. Confirme que a ordem de convergência do método regula falsi é 𝑝 ≈ 1.6818   .  

Passo 1

Eaí! Tudo bem?? Vamos aplicar o método regula falsi (ou método da falsa posição) para achar a raiz aproximada da função fornecida no enunciado. Lembre-se que precisamos achar o intervalo em que a raiz se encontra, considerando 𝑓 𝑎 × 𝑓 𝑏   <   0 .

Passo 2

Chutando o intervalo 0.7,0.8 :

𝑓 0.7 = 0.7 − c o s c o s   0.7   = − 0.06484   < 0

𝑓 0.8 = 0.8 − c o s c o s   0.8   = 0.103293   > 0

Achamos o intervalo! Agora só precisamos usar o método regula falsi para fazer as iterações.

Passo 3

Aplicando o método regula falsi no intervalo 𝑎 , 𝑏 encontrado:

𝑥 𝑘 = 𝑎 × 𝑓 𝑏 − 𝑏 × 𝑓 𝑎 𝑓 𝑏 − 𝑓 𝑎 ,   𝑥 0 = 0.7   𝑒   𝑥 1   =   0.8

Substituindo, obtemos:

𝑥 2 = 0.7 0.103293 − 0.8 − 0.6484 0.103293 − − 0.06484 = 0.738565

Calculando 𝑓 𝑥 2

para substituir no intervalo:

𝑓 0.738565 = 0.738565 − c o s c o s   0.738565   = − 0.000870401

Como 𝑓 𝑥 2   <   0 o novo intervalo será 𝑥 2 , 𝑏 visto que 𝑓 𝑎   <   0 também, lembre-se que o antigo intervalo era 𝑎 , 𝑏 . Com isso, o novo intervalo é 0.738565,0.8 .

Continuando as iterações:

𝑥 3 = 0.738565 0.103293 − 0.8 − 0.000870401 0.103293 − − 0.000870401 = 0.739078

𝑓 0.709078 = 0.739078 − c o s c o s   0.739078   = − 0.0000119382

Como deu negativo, substituiremos 0.739078   no valor do intervalo que também possui valor numérico negativo, no caso, substituiremos 0.738565   𝑝 𝑜 𝑟   0.739078   , ficando com 0.739078,0.8 .

𝑥 4 = 0.739078 0.103293 − 0.8 − 0.0000119382 0.103293 − − 0.0000119382 = 0.739085

Chegamos em 5 casas decimais corretas!

Passo 4

Para finalizar vamos utilizar a seguinte equação para verificar a ordem de convergência do método regula falsi:

𝑝   ≈ l o g l o g   𝑒 𝑘 + 1 𝑒 𝑘   l o g l o g   𝑒 𝑘 𝑒 𝑘 − 1  

Calculando o erro em x4, x3 e x2 obteremos:

𝑒 𝑥 4 = 𝑥 4 − 𝑥 3 = 0.739085 − 0.739078 = 0.000007

𝑒 𝑥 3 = 𝑥 3 − 𝑥 2 = 0.739078 − 0.738563 = 0.0005

𝑒 𝑥 2 = 𝑥 2 − 𝑥 1 = 0.738563 − 0.8 = 0.0614

Substituindo:

𝑝 ≈ l o g l o g   0.000007 0.0005   l o g l o g   0.0005 0.0614   ≈ 0.90

Com mais iterações, talvez chegaríamos no valor estipulado pelo exercício, mas, com o valor encontrado não podemos confirmar que o método regula falsi possui convergência de 1.618.

Resposta

Raiz aproximada 𝑥 _ = 0.739085 ordem de convergência não pode ser confirmada com a quantidade de iterações realizadas.

Exercícios de Livros Relacionados

Determinar, pelo método das secantes, uma raiz de cada uma das equações:c) 𝑒 − 𝑥 − l o g l o g𝑥= 0
Usando o método iterativo linear determinar a solução de:Próxima a 0.5,0.5 .
O sistema não linear:Possui uma raiz próxima a 0.8,1.2 . Usando o método iterativo linear determine essa raiz com precisão de 10 − 1 .
A equação: 𝑥 − 2 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 = 0 possui uma raiz no intervalo 1.8 ,   2.0   . Determiná-la pelo método regula falsi, com duas casas decimais corretas.
Determinar uma raiz de cada uma das equações:a) 𝑠 𝑒 𝑛 𝑥 − 𝑥 𝑒 𝑥 = 0 Usando o método regula falsi.