Enunciado

Mostre que: Se o sistema de equações algébricas A x = b , onde A é matriz não singular, é transformado no sistema equivalente B x = b , com B = A t A ; c = A t b , onde A t é a transposta de A , então o último sistema pode sempre ser resolvido pelo processo de Cholesky (isto é, a matriz B satisfaz as condições para a aplicação do método). Aplicar a técnica acima para determinar pelo processo de Cholesky, a solução do sistema:

1 0 1 1 1 0 1 1 0 x 1 x 2 x 3 = 2 2 2

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de cálculo numérico de Franco e Neide ele pede para mostra que Se o sistema de equações algébricas A x = b , onde A é matriz não singular, é transformado no sistema equivalente B x = b , com B = A t A ; c = A t b , onde A t é a transposta de A , então o último sistema pode sempre ser resolvido pelo processo de Cholesky (isto é, a matriz B satisfaz as condições para a aplicação do método). Aplicar a técnica acima para determinar pelo processo de Cholesky, a solução do sistema:

1 0 1 1 1 0 1 1 0 x 1 x 2 x 3 = 2 2 2

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha dado as equações algébricas,

A x = b         B x = b

Com,

B = A t A c = A t b

Com o sistema valendo,

1 0 1 1 1 0 1 1 0 x 1 x 2 x 3 = 2 2 2

x 1 + 0 + x 3 = 2 x 1 + x 2 + 0 = 2 x 1 + x 2 + 0 = 2 → x 1 + 0 + x 3 = 2 2 x 1 + 2 x 2 + 0 = 4

Ficando,

3 x 1 + 2 x 2 + x 3 = 6 → 3 ,   2 ,   1 ,   6 t

A t = 3 2 1 6 t

Logo temos,

B = 3 2 1 6 t ( 3 ,   2 ,   1 ,   6 )

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

B = 3 2 1 6 t ( 3 ,   2 ,   1 ,   6 )

Exercícios de Livros Relacionados

33. Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando a fatoração de Cholesky:
Aplicando-se o processo de Cholesky à matriz A, obteve-se: A = … 2 … … … 8 10 - 8 3 10 14 - 5 … - 8 … 29 = G G t Onde: G = 1 … … o 2 … … … … 2 1 … 0 - 4 … 2 Preencher os espaços partilhados com valore
Considere as matrizes: A = 1 1 0 1 2 1 0 - 1 3 ; B = 3 1 0 1 3 2 0 2 1 Escolha adequadamente e resolva um dos sistemas A x = b , B x = b , pelo processo de cholesky, onde b = 2,1 , 5 t
Sejam A e B matrizes de ordem n . Prove que:(‖ B^(- 1) - A^(- 1) ‖)/(‖ B^(- 1) ‖) = c o n d (A) (‖ A - B ‖)/(‖ B ‖)